矩阵的因子分解1-奇异值分解

文章目录

  • 矩阵的因子分解1-奇异值分解
    • 求法归纳
    • [例1. 对矩阵 A = ( 0 1 − 1 0 0 2 1 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} A= 0−1011020 进行奇异值分解](#例1. 对矩阵 A = ( 0 1 − 1 0 0 2 1 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \ 0 & 2 \ 1 & 0 \end{pmatrix} A= 0−1011020 进行奇异值分解)
      • [1. 计算 A H A A^H A AHA 的特征值和特征向量](#1. 计算 A H A A^H A AHA 的特征值和特征向量)
      • [2. 将奇异值按从大到小排列,并构造对角矩阵 Σ \Sigma Σ](#2. 将奇异值按从大到小排列,并构造对角矩阵 Σ \Sigma Σ)
      • [3. 计算 A A H A A^H AAH 的特征值和特征向量](#3. 计算 A A H A A^H AAH 的特征值和特征向量)
      • [4. 构造分解结果](#4. 构造分解结果)

矩阵的因子分解1-奇异值分解

题型:对 A ∈ C m × n A \in \mathbb{C}^{m \times n} A∈Cm×n 进行奇异值分解 A = U Σ V H A = U \Sigma V^H A=UΣVH

题目中为简化计算,都是取 C m × n \mathbb{C}^{m\times n} Cm×n的特殊情形: R m × n \mathbb{R}^{m\times n} Rm×n,如下也是按照 R m × n \mathbb{R}^{m\times n} Rm×n 来展开的

求法归纳

  1. 求 A H A A^HA AHA 的特征值和特征向量 α 1 , α 2 , ... {\alpha_1,\alpha_2,\dots} α1,α2,...
    单位化 特征向量得到 V V V

  2. 用非零特征值求 :A A A 的奇异值将奇异值按从大到小的顺序排列并形成对角矩阵 Σ \Sigma Σ

  3. 求 A A H AA^H AAH 的特征值和特征向量 β 1 , β 2 , ... {\beta_1,\beta_2,\dots} β1,β2,...
    单位化 特征向量得到 U U U

  4. A = U ( Σ 0 0 0 ) V H A =U \begin{pmatrix} \Sigma&0\\ 0&0 \end{pmatrix} V^H A=U(Σ000)VH

注:

  • A H A A^HA AHA 和 A A H AA^H AAH 均为对称矩阵,特征值均非负且二者的非零特征值相同不同特征值对应的特征向量正交

  • 计算量大但推荐,不用通过 Gram-Schmidt 正交化方法补充单位向量

例1. 对矩阵 A = ( 0 1 − 1 0 0 2 1 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} A= 0−1011020 进行奇异值分解

1. 计算 A H A A^H A AHA 的特征值和特征向量

A H A = ( 0 − 1 0 1 1 0 2 0 ) ( 0 1 − 1 0 0 2 1 0 ) = ( 2 0 0 5 ) A^H A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} AHA=(01−100210) 0−1011020 =(2005)

特征值为:

λ 1 = 5 , λ 2 = 2 \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2 λ1=5,λ2=2

对应的特征向量为:

α 1 = ( 0 1 ) , α 2 = ( 1 0 ) \alpha_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} α1=(01),α2=(10)

将特征向量单位化:

v 1 = α 1 ∥ α 1 ∥ = ( 0 1 ) , v 2 = α 2 ∥ α 2 ∥ = ( 1 0 ) v_1 = \frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \frac{\alpha_2}{\|\alpha_2\|} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} v1=∥α1∥α1=(01),v2=∥α2∥α2=(10)

V = ( 0 1 1 0 ) V = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} V=(0110)

2. 将奇异值按从大到小排列,并构造对角矩阵 Σ \Sigma Σ

奇异值是特征值的平方根
σ 1 = 5 , σ 2 = 2 \sigma_1 = \sqrt{5}, \quad \sigma_2 = \sqrt{2} σ1=5 ,σ2=2

Σ = ( 5 0 0 2 ) \Sigma = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} Σ=(5 002 )


3. 计算 A A H A A^H AAH 的特征值和特征向量

A A H = ( 0 1 − 1 0 0 2 1 0 ) ( 0 − 1 0 1 1 0 2 0 ) = ( 1 0 2 0 0 1 0 − 1 2 0 4 0 0 − 1 0 1 ) A A^H = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} AAH= 0−1011020 (01−100210)= 1020010−120400−101

特征值为:

λ 1 = 5 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 , λ 4 = 0 \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = 0, \quad \lambda_4 = 0 λ1=5,λ2=2,λ3=0,λ4=0

对应的特征向量为:

β 1 = ( 1 0 2 0 ) , β 2 = ( 0 − 1 0 1 ) , β 3 = ( 0 1 0 1 ) , β 4 = ( − 2 0 1 0 ) \beta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \beta_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \beta_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \beta_4 = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} β1= 1020 ,β2= 0−101 ,β3= 0101 ,β4= −2010

将特征向量单位化:

u 1 = β 2 ∥ β 2 ∥ = ( 1 5 0 2 5 0 ) , u 2 = β 1 ∥ β 1 ∥ = ( 0 − 1 2 0 1 2 ) , u 3 = β 3 ∥ β 3 ∥ = ( 0 1 2 0 1 2 ) , u 4 = β 4 ∥ β 4 ∥ = ( − 2 5 0 1 5 0 ) u_1 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 \end{pmatrix}, \quad u_2 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad \\ u_3 = \frac{\beta_3}{\|\beta_3\|} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad u_4 = \frac{\beta_4}{\|\beta_4\|} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \end{pmatrix} u1=∥β2∥β2= 5 105 20 ,u2=∥β1∥β1= 0−2 102 1 ,u3=∥β3∥β3= 02 102 1 ,u4=∥β4∥β4= −5 205 10

U = ( 1 5 0 0 − 2 5 0 − 1 2 1 2 0 2 5 0 0 1 5 0 1 2 1 2 0 ) U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & 0 & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} &0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 &\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix} U= 5 105 200−2 102 102 102 1−5 205 10


4. 构造分解结果

根据奇异值分解公式:
A = U ( Σ 0 0 0 ) V H A = U \begin{pmatrix} \Sigma & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V^H A=U(Σ000)VH

其中:
Σ = ( 5 0 0 2 ) , ( Σ 0 0 0 ) = ( 5 0 0 2 0 0 0 0 ) \Sigma = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \Sigma & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Σ=(5 002 ),(Σ000)= 5 00002 00

因此,分解结果为:
A = U ( 5 0 0 2 0 0 0 0 ) V H A = U \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0\\ 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V^H A=U 5 00002 00 VH

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