文章目录
一、奇偶性定义
1、定义域都是关于原点对称。
2、解析式关系
奇函数： f ( x ) = − f ( − x ) f(x) = - f(-x) f(x)=−f(−x);偶函数： f ( x ) = f ( − x ) f(x) = f(-x) f(x)=f(−x)
3、图像特点
奇函数：关于原点中心对称；偶函数：关于y轴对称。
补充：如果奇函数在原点有定义，即奇函数的定义域包含0，则 f ( 0 ) = 0 f(0) =0 f(0)=0
例题
1、先求定义域，看看定义域是否关于原点对称，可以解得定义域为{-1,1}。
2、在根据定义验证，即 f ( x ) 与 f ( − x ) f(x) 与f(-x) f(x)与f(−x)的关系。
二、运算性质
1、两个函数的和差积商
2、复合函数
口诀：内偶外偶合为偶，内奇外奇合为奇，内奇外偶合为偶，内偶外奇合为偶。
3、画草图
一般我们只要知道奇偶性和增减性就可以画出函数草图。
4、对称中心与对称轴
下面式子的特点是，两个f中的值之和，可以消除x。
三、奇偶性判断
1、定义法。
2、验证法。
f ( x ) ± f ( − x ) = 0 f(x) ±f(-x)=0 f(x)±f(−x)=0
3、图像法。
4、运算性质法。
例题
例题1
解析：直接利用定义法求参数值即可。
4、 f ( x ) ≠ − f ( − x ) f(x) ≠ - f(-x) f(x)=−f(−x)且 f ( x ) ≠ f ( − x ) f(x) ≠ f(-x) f(x)=f(−x)，前者证明非奇，后者证明非偶。
四、根据奇偶性求解析式
例题
解析：给出的是x>0的解析式，所以，我们要设x<0，那么，-x>0，代入后，根据奇偶性求解。
五、单调性与奇偶性的综合应用
例题
例题1
解析：根据图像的左加右减性质，可知，fx的对称轴是x=8，在根据单调性，可知，函数有最大值。
于是，类比开口朝下的二次函数，离对称轴越近值越大。
例题2
解析：可知，对称轴是x=0，根据增减性知道有最小值。
类比二次函数图像性质，距离对称轴越近值越小。
于是得： ∣ a − 2 ∣ < ∣ 4 − a 2 ∣ |a-2|<|4-a^2| ∣a−2∣<∣4−a2∣
那么，这个方程式怎么解答？直接，两边平方
解得： ( a + 1 ) 2 > 1 , 且 a ≠ 2 ，最终： a ≠ 2 且 a < − 3 且 a > − 1 (a+1)^2>1,且a≠2，最终：a≠2且a<-3且a>-1 (a+1)2>1,且a=2，最终：a=2且a<−3且a>−1
另外，根据定义域在得出两个方程。
∣ a − 2 ∣ < 1 |a-2|<1 ∣a−2∣<1， ∣ 4 − a 2 ∣ < 1 |4-a^2|<1 ∣4−a2∣<1
例题3
解析，前面2小问比较简单
第三问，先求出fx的最大值，然后得出： m 2 − 2 a m + 1 > f m a x m^2-2am+1>f_{max} m2−2am+1>fmax
在用分离常数法，对m分三类情况讨论：m=0,m>0,m<0。(同类取交集，分类取并集)
对结果求并集即可。
例题4
解析：本题是较难的。
思路：
1、先去绝对值，得出x≥0区域的解析式。
2、结合奇偶性，单调性，画出草图，得出区间上的最值。
3、正确理解 f ( x − 1 ) ≤ f ( x ) f(x-1)≤f(x) f(x−1)≤f(x)的含义，这一步是最难的。
x ≥ 0 ， f ( x ) = { − x 0 ≤ x ≤ a 2 − a 2 a 2 < x ≤ 2 a 2 x − 3 a 2 x > 2 a 2 x≥0，f(x) = \begin{cases} -x &{ 0 \leq x \leq a^2}\\ -a^2 &{ a^2 \lt x \leq 2a^2}\\ x-3a^2 &{ x \gt 2a^2} \end{cases} x≥0，f(x)=⎩ ⎨ ⎧−x−a2x−3a20≤x≤a2a2<x≤2a2x>2a2
画图
第3步，理解 f ( x − 1 ) ≤ f ( x ) f(x-1)≤f(x) f(x−1)≤f(x)，就是将R划分为(-∞，x)，(x,+∞)
求出(-∞，x)中的最大值max，(x,+∞)区间上的最小值min，且min＞max
那么，这个x怎么确定？
从图中我们可以看出， x ≤ 2 a 2 x \leq 2a^2 x≤2a2时，区间上的最大值为 a 2 a^2 a2，此时， x = − 2 a 2 x=-2a^2 x=−2a2
而 x > 2 a 2 x \gt 2a^2 x>2a2区间是单调增的，则，找出 y = a 2 y=a^2 y=a2时的x即可。此时， x = 4 a 2 x=4a^2 x=4a2
在根据 f ( x − 1 ) ≤ f ( x ) f(x-1)≤f(x) f(x−1)≤f(x)，得 4 a 2 − ( − 2 a 2 ) ≤ 1 4a^2-(-2a^2) \leq 1 4a2−(−2a2)≤1
例题5
解析：本题和例题2是一个类型的。
例题6
抽象函数类型
例题7
解析：本题类型和例题4相同。