【多维DP】力扣576. 出界的路径数

给你一个大小为 m x n 的网格和一个球。球的起始坐标为 $startRow, startColumn$ 。你可以将球移到在四个方向上相邻的单元格内（可以穿过网格边界到达网格之外）。你最多可以移动 maxMove 次球。

给你五个整数 m、n、maxMove、startRow 以及 startColumn ，找出并返回可以将球移出边界的路径数量。因为答案可能非常大，返回对 109 + 7 取余后的结果。

示例 1：

输入：m = 2, n = 2, maxMove = 2, startRow = 0, startColumn = 0

输出：6

示例 2：

输入：m = 1, n = 3, maxMove = 3, startRow = 0, startColumn = 1

输出：12

提示：

1 <= m, n <= 50

0 <= maxMove <= 50

0 <= startRow < m

0 <= startColumn < n

动态规划

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class Solution {
public:
    int findPaths(int m, int n, int maxMove, int startRow, int startColumn) {
        int MOD = 1e9 + 7;
        vector<vector<int>> directions = {{1,0}, {-1,0}, {0,1}, {0,-1}};
        int outcounts = 0;
        vector<vector<vector<int>>> dp(maxMove+1, vector<vector<int>>(m, vector<int>(n)));
        dp[0][startRow][startColumn] = 1;
        for(int i = 0; i < maxMove; i++){
            for(int j = 0; j < m; j++){
                for(int k = 0; k < n; k++){
                    int count = dp[i][j][k];
                    if(count > 0){
                        for(auto direction : directions){
                            int j1 = j + direction[0], k1 = k + direction[1];
                            if(j1 >= 0 && j1 < m && k1 >= 0 && k1 < n){
                                dp[i+1][j1][k1] = (dp[i+1][j1][k1] + count) % MOD;
                            }
                            else{
                                outcounts = (outcounts + count) % MOD;
                            }         
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return outcounts;
    }
};

这道题可以定义一个三维数组dp $i$ $j$ $k$ 用来表示走了i步后落在位置(j,k)的路径总数。我们需要知道的一点是，当我们确定了第i步落在了(j,k)，那么第i+1步有可能是向上向下向左向右四种方向，对应到不同的位置。如果(j1,k1)在界内，那么我们可以定义一个directions来计算第i+1步向四个不同方向走后的状态转移方程dp[i+1][j1][k1] = (dp[i+1][j1][k1] + count) % MOD;，count是dp $i$ $j$ $k$ ，j1和k1是第i+1步后落的位置。如果j1和k1在界外，那么就记录到出界的路径数outcounts中。

注：由于i+1只由i转移而来，可以压缩dp $i$ $j$ $k$ 为dp $j$ $k$ ，进行空间优化。