数据结构与算法学习笔记----约数
@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2024.12.30
ps⭐️主要是求约数，约数的个数，约数的和，涉及到算术基本定理的相关内容，第三题的讲解合并在第二题的思路里一起了。
Acwing 869. 试除法求约数
原题链接\]([869. 试除法求约数 - AcWing题库](https://www.acwing.com/problem/content/description/871/))
给定 n n n个正整数 a i a_i ai，对于每个整数 a i a_i ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数
#### 输入格式
第一行包含整数 n n n，
接下来 n n n行，每行包含一个正整数 a i a_i ai。
#### 输出格式
输出 n n n行，其中每 i i i行输出第 i i i个整数 a i a_i ai的所有约数。
#### 数据范围
1 ≤ n ≤ 100 1 \\le n \\le 100 1≤n≤100,
1 ≤ a i ≤ 2 × 1 0 9 1 \\le a_i \\le 2\\times 10\^9 1≤ai≤2×109
#### 思路
试除法和质数中是一样的，只是我们统计的量不一样了
需要注意的就是时间复杂度了，**数论中的题目需要注意时间复杂度**，这关系到我们要使用什么方法解决
这题的时间复杂度是 O ( n × a ) O(n \\times \\sqrt{a}) O(n×a )， a a a的范围如题，因此可以得到整体时间复杂度大概在400万\~500万。
#### 代码
```cpp
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
vector get_dividers(int n)
{
vector res;
for(int i = 1; i <= n / i; i ++)
{
if(n % i == 0)
{
res.push_back(i);
if(i != n / i) res.push_back(n / i);
}
}
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while(n --)
{
int x;
cin >> x;
vector ans = get_dividers(x);
for(auto t : ans) cout << t << ' ';
cout << endl;
}
return 0;
}
```
### Acwing 870. 约数个数
\[原题链接\]([870. 约数个数 - AcWing题库](https://www.acwing.com/problem/content/872/))
给定 n n n个正整数 a i a_i ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 1 0 9 + 7 10\^9 + 7 109+7取模。
#### 输入格式
第一行包含整数 n n n，
接下来 n n n行，每行包含一个正整数 a i a_i ai。
#### 输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 1 0 9 + 7 10\^9 + 7 109+7取模。
#### 数据范围
1 ≤ n ≤ 100 1 \\le n \\le 100 1≤n≤100,
2 ≤ a i ≤ 2 × 1 0 9 2 \\le a_i \\le 2 \\times 10\^9 2≤ai≤2×109
#### 思路
这里就要用到算术基本定理（这个定理的相关内容从下面的红字开始，若想跳过直接往下看蓝字）了。
算术基本定理，又称为**正整数的唯一分解定理**，是初等数论中一个非常重要的定理。它揭示了整数的基本性质，具体表述为：
**任何一个大于1的自然数，如果不为质数，那么它可以唯一分解成有限个质数的乘积。**
数学上，这可以表达为：
N = p 1 a 1 × p 2 a 2 × p 3 a 3 × ⋯ × p n a n N = p_1\^{a_1} \\times p_2\^{a_2} \\times p_3\^{a_3} \\times \\cdots \\times p_n\^{a_n} N=p1a1×p2a2×p3a3×⋯×pnan
其中， p 1 \< p 2 \< p 3 \< ⋯ \< p n p_1 \< p_2 \< p_3 \< \\cdots \< p_n p1\
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
int n;
cin >> n;
unordered_map primes;
while(n --)
{
int x;
cin >> x;
for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
{
while(x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i] ++;
}
}
if(x > 1) primes[x] ++ ;
}
LL res = 1;
for(auto prime : primes) res = res * (prime.second + 1) % mod;
cout << res << endl;
return 0;
}
```
### Acwing 871. 约数之和
\[原题链接\]([871. 约数之和 - AcWing题库](https://www.acwing.com/problem/content/873/))
给定 n n n个正整数 a i a_i ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 1 0 9 + 7 10\^9 + 7 109+7取模。
#### 输入格式
第一行包含整数 n n n，
接下来 n n n行，每行包含一个正整数 a i a_i ai。
#### 输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 1 0 9 + 7 10\^9 + 7 109+7取模。
#### 数据范围
1 ≤ n ≤ 100 1 \\le n \\le 100 1≤n≤100,
2 ≤ a i ≤ 2 × 1 0 9 2 \\le a_i \\le 2 \\times 10\^9 2≤ai≤2×109
#### 代码
```cpp
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
int n;
cin >> n;
unordered_map primes;
while(n --)
{
int x;
cin >> x;
for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
{
while(x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i] ++;
}
}
if(x > 1) primes[x] ++;
}
LL res = 1;
for(auto prime : primes)
{
int a = prime.first, b = prime.second;
LL t = 1;
while(b --) t = (t * a + 1) % mod;
res = res * t % mod;
}
cout << res << endl;
return 0;
}
```