697: Edit Distance

我们定义 dp[i][j] 为将字符串 A[0..i-1] 转换为 B[0..j-1] 的最小操作数

状态转移

通过动态规划的思想，我们可以使用 状态转移方程 来计算 dp[i][j]。具体来说，dp[i][j] 的值可以由以下几种操作得到：

1. 如果 A[i-1] == B[j-1]：

   • 如果 A[i-1] 和 B[j-1] 相同，说明不需要对这两个字符做任何操作，那么我们只需从 dp[i-1][j-1] 继承结果：

   dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

2. 如果 A[i-1] != B[j-1]：

   • 删除操作 ：从 A[0..i-1] 删除一个字符，使其变为 A[0..i-2]，即 dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。
   • 插入操作 ：从 B[0..j-1] 插入一个字符，变为 B[0..j-2]，即 dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1。
   • 替换操作 ：将 A[i-1] 替换为 B[j-1]，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

3. 选择最小操作数：

   • 由于我们需要最少的操作数，因此 dp[i][j] 是以上三种操作中最小的操作数。

边界条件

在动态规划的过程中，我们需要先初始化边界条件：

• dp[i][0] ：将 A[0..i-1] 转换为空字符串，需要 i 次删除操作：

  dp[i][0] = i

• dp[0][j] ：将空字符串转换为 B[0..j-1]，需要 j 次插入操作：

  dp[0][j] = j

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e4+4;
int dp[N][N];
int main() {
	string a, b;
	cin >> a >> b;
	int m = a.size();
	int n = b.size();
	for (int i = 0; i <= m; i++) {
		dp[i][0] = i;
	}
	for (int j = 0; j <= n; j++) {
		dp[0][j] = j;
	}

	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (a[i - 1] == b[j - 1]) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
			}
			else {
				dp[i][j] = min({
					dp[i - 1][j],dp[i][j - 1],dp[i - 1][j - 1]
					}) + 1;
			}
		}
	}
	cout << dp[m][n] << endl;
	return 0;
}