蓝桥杯真题 - 最大开支 - 题解

ExRoc2025-01-12 11:12

题目链接：https://www.lanqiao.cn/problems/3541/learning/

个人评价：难度 3 星（满星：5）

前置知识：贪心，结构体

整体思路

根据题目名可知，虽然题目问的是"至少需要准备多少钱"，但实际要求的是"最大开支"，即所有人都按最贵的方式选择项目；
由于参与项目的人数不同将决定项目的单价，不能直接按单价贪，考虑按增量贪心，即：如果第 i i i 个项目新加入一个成员，需要选择对答案增量最大的项目，这样才能使最终开支最大；
首先计算在第 x x x 名成员加入第 i i i 个项目之前需要的开支 b e f o r e before before，即：

b e f o r e = { 0 x = 1 max ⁡ ( K i ( x − 1 ) + B i , 0 ) × ( x − 1 ) x ≠ 1 before= \begin{cases} 0 & x = 1 \\ \max(K_i (x - 1) + B_i, 0) \times (x - 1) & x \neq 1 \end{cases} before={0max(Ki(x−1)+Bi,0)×(x−1)x=1x=1

其次计算第 x x x 名成员加入第 i i i 个项目之后需要的开支 a f t e r after after：

a f t e r = max ⁡ ( K i × x + B i , 0 ) × x after=\max(K_i \times x + B_i, 0) \times x after=max(Ki×x+Bi,0)×x

a f t e r − b e f o r e after-before after−before 就是第 x x x 个成员加入后的增量，每个成员贪心取最大的增量，使用优先队列维护即可。

过题代码

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 100000 + 100;
struct Node {
    LL k, b, x, d;
    Node() {}
    
    // 计算增量 d
    Node(LL k, LL b, LL x) : k(k), b(b), x(x) {
        LL before = 0;
        if (x != 1) {
            before = max(k * (x - 1) + b, 0LL) * (x - 1);
        }
        d = max(k * x + b, 0LL) * x - before;
    }
};

bool operator<(const Node &a, const Node &b) {
    return a.d < b.d;
}

int n, m, k, b;
LL ans;
priority_queue<Node> que;

int main() {
#ifdef ExRoc
    freopen("test.txt", "r", stdin);
#endif // ExRoc
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> k >> b;
        que.push(Node(k, b, 1));
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        Node tmp = que.top();
        que.pop();
        // 如果增量 <= 0，说明再取将会减少答案，此时让后面的人不再参与项目才能得到最大开支
        if (tmp.d <= 0) {
            break;
        }
        ans += tmp.d;
        tmp = Node(tmp.k, tmp.b, tmp.x + 1);
        que.push(tmp);
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}