【算法】经典博弈论问题——巴什博弈 python

目录


前言

博弈类问题大致分为:
公平组合游戏、非公平组合游戏(绝大多数的棋类游戏)和 反常游戏


巴什博弈(Bash Game)

一共有n颗石子,两个人轮流拿,每次可以拿1~m颗石子
最先取光石子的一方为胜(没有石子可以拿的人为败),根据n、m返回谁赢

分析

我们从最简单的情景开始分析

当石子有 1−m 个时,先手必胜(一次拿完)

当石子有m+1个时,先手无论拿几个,后手都可以拿完,先手必败

不难发现:面临 m+1个石子的人一定失败。

这样的话,最优策略一定是:通过拿走石子,使得对方拿石子时还有 m+1个剩余
推广至一般情况:

【1】当n不可被m+1整除时,先手必胜

为什么? n %(m+1)= r,先手拿走 r ,后手即面临 m+1的整数倍颗石子,必败

【2】同理,当n可被m+1整除时,先手必败


测试链接 hduoj1846

示例code:

python 复制代码
c = int(input())
for _ in range(c):
    n, m = map(int, input().split())
    if n % (m + 1) == 0:
        print("second")
    else:
        print("first")

小试牛刀

hduoj2188

题解:

python 复制代码
# 和前面几乎一样的code
c = int(input())
for _ in range(c):
    n, m = map(int, input().split())
    if n % (m + 1) != 0:
        print("Grass")
    else:
        print("Rabbit")

PN分析


实战检验

Roy&October之取石子

题目背景

Roy 和 October 两人在玩一个取石子的游戏。

题目描述

游戏规则是这样的:共有 n n n 个石子,两人每次都只能取 p k p^k pk 个( p p p 为质数, k k k 为自然数,且 p k p^k pk 小于等于当前剩余石子数),谁取走最后一个石子,谁就赢了。

现在 October 先取,问她有没有必胜策略。

若她有必胜策略,输出一行 October wins!;否则输出一行 Roy wins!

输入格式

第一行一个正整数 T T T,表示测试点组数。

第 2 2 2 行 ∼ \sim ∼ 第 T + 1 T+1 T+1 行,一行一个正整数 n n n,表示石子个数。

输出格式

T T T 行,每行分别为 October wins!Roy wins!

样例输入

3
4
9
14

样例输出

October wins!
October wins!
October wins!

提示

对于 30 % 30\% 30% 的数据, 1 ≤ n ≤ 30 1\leq n\leq 30 1≤n≤30;

对于 60 % 60\% 60% 的数据, 1 ≤ n ≤ 1 0 6 1\leq n\leq 10^6 1≤n≤106;

对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ n ≤ 5 × 1 0 7 1\leq n\leq 5\times 10^7 1≤n≤5×107, 1 ≤ T ≤ 1 0 5 1\leq T\leq 10^5 1≤T≤105。

(改编题)

思路

每次可以拿质数的自然数次方颗石子
对于6的倍数,一定不是质数的某一自然数次方
1,2,3,4,5都可以一次取到,
当n=6时,第一个人无论怎么取,后手赢

推至一般情况:
当n不是6的倍数,先手赢
当n是6的倍数,后手赢

题解代码:

python 复制代码
t = int(input())
for _ in range(t):
    n = int(input())
    if n % 6 == 0:
        print("Roy wins!")
    else:
        print("October wins!")

总结

巴什博弈是一个相对简单的问题,但它引入了重要的概念,比如P态和N态的概念,对理解更复杂的组合博弈非常有用。

此外,如何通过数学公式快速得出结论也是解决此类问题的关键技巧之一。


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