概率密度函数(PDF)&分布函数(CDF)——直方图&累积直方图——直方图规定化的数学基础

对于连续型随机变量,分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)是概率密度函数(Probability Density Function, PDF)的变上限积分,概率密度函数是分布函数的导函数。

如果我们有一个连续型随机变量 X X X,其分布函数记为 F ( x ) F(x) F(x),而其概率密度函数记为 f ( x ) f(x) f(x),那么两者之间的关系可以通过微积分来描述:

F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t )   d t F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt F(x)=∫−∞xf(t)dt

根据微积分的基本定理,如果 f ( x ) f(x) f(x)是连续的,则有:

f ( x ) = d d x F ( x ) f(x) = \frac{d}{dx} F(x) f(x)=dxdF(x)

这表明在任意点 x x x,概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x)给出了分布函数 F ( x ) F(x) F(x)在该点的变化率,即斜率。换句话说,概率密度函数表示了分布函数在每一点上的瞬时变化速度。

需要注意的是,这个关系只对连续型随机变量成立。对于离散型随机变量,我们没有概率密度函数的概念,因为离散型随机变量的概率分布在离散的点上具有非零值,而在这些点之外的概率为零。

对于离散型随机变量,我们通常讨论的是分布列(Probability Mass Function, PMF),它给出了随机变量取特定离散值的概率。

在图像处理中,直方图本质上就是概率密度函数(PDF),累积直方图本质上就是分布函数(CDF)。离散与连续之分。

相关推荐
xcLeigh29 分钟前
OpenCV从零开始:30天掌握图像处理基础
图像处理·人工智能·python·opencv
ElasticPDF-新国产PDF编辑器1 小时前
Angular 项目 PDF 批注插件库在线版 API 示例教程
前端·pdf·angular.js
夏天想1 小时前
vant4+vue3上传一个pdf文件并实现pdf的预览。使用插件pdf.js
开发语言·javascript·pdf·vant
ElasticPDF-新国产PDF编辑器3 小时前
React 项目 PDF 批注插件库在线版 API 示例教程
react.js·pdf·json
hello_simon6 小时前
在线小白工具,PPT转PDF支持多种热门工具,支持批量转换,操作简单,高效适合各种需求
pdf·html·powerpoint·excel·pdf转html·excel转pdf格式
ZhangChuChu_924812 小时前
Word在生成PDF后,PDF左侧导航书签目录错误显示的解决方法
pdf·word
jimmyleeee14 小时前
人工智能基础知识笔记七:随机变量的几种分布
人工智能·笔记·概率论
inxunoffice19 小时前
批量将文本文件转换为 Word/PDF/Excel/图片等其它格式
pdf·word·excel
明月看潮生19 小时前
青少年编程与数学 02-015 大学数学知识点 03课题、概率论和数理统计
青少年编程·概率论·数理统计·编程与数学·大学数学
www_pp_21 小时前
图像处理中的高斯金字塔与直方图分析
图像处理·人工智能