2025年数学建模美赛 A题分析（1）Testing Time: The Constant Wear On Stairs
2025年数学建模美赛 A题分析（2）楼梯磨损分析模型
2025年数学建模美赛 A题分析（3）楼梯使用方向偏好模型
2025年数学建模美赛 A题分析（4）楼梯使用人数模型
特别提示：
- 本文针对 2025年 A题进行分析，每天不断更新，建议收藏。
- 其它题目的分析详见【youcans 的数学建模课】 专栏。
文章目录
- [2025年数学建模美赛 A题分析（4）楼梯使用人数模型](#2025年数学建模美赛 A题分析（4）楼梯使用人数模型)
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- [1. 问题概述](#1. 问题概述)
- [2. 楼梯使用人数模型](#2. 楼梯使用人数模型)
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- [2.1 楼梯使用人数数学模型的建立](#2.1 楼梯使用人数数学模型的建立)
- [2.2 所需数据与测量方法](#2.2 所需数据与测量方法)
- [2.3 假设条件](#2.3 假设条件)
- [3. 模型推导](#3. 模型推导)
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- [3.1 基本概念](#3.1 基本概念)
- [3.2 磨损宽度的计算](#3.2 磨损宽度的计算)
- [3.3 使用人数的模型](#3.3 使用人数的模型)
- [4. 实施步骤](#4. 实施步骤)
- [5. 模型验证](#5. 模型验证)
- [6. 复杂场景扩展](#6. 复杂场景扩展)
- [7. 模型结论](#7. 模型结论)
2025年数学建模美赛 A题分析（4）楼梯使用人数模型
1. 问题概述
用于建造台阶的石材和其他材料经受着持续的长期磨损，并且这种磨损可能是不均匀的。
问题的任务是：开发一个模型，通过特定楼梯的磨损模式得出以下基本预测：
- 楼梯使用的频率。
- 使用楼梯时是否更倾向于某一方向。
- 同时使用楼梯的人数（例如，人们是否成对并排爬楼梯，还是单列行走）。
进一步地，假设已经获得楼梯的建造年代、使用方式以及建筑中日常生活模式的估算信息，需要回答以下问题：
- 磨损是否与现有信息一致？
- 楼梯的年龄及其估算的可靠性如何？
- 楼梯是否经历过维修或翻修？
- 能否确定材料的来源？例如，石材的磨损是否与考古学家认为的原始采石场材料一致？若使用木材，其磨损是否与假定使用的树种和年代相符？
- 有关楼梯典型每日使用人数的信息，以及是否有大量人群在短时间内使用，或少量人群长期使用的情况？
2. 楼梯使用人数模型
2.1 楼梯使用人数数学模型的建立
楼梯同时使用人数分析的目标是确定使用者是单人单列行走，还是多人并排行走，并量化同时使用的人数。可以通过磨损宽度和分布的模式来推导这一信息。
2.2 所需数据与测量方法
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必须测量的数据
（1）楼梯踏面的磨损宽度分布
获取每一级台阶磨损区域的宽度和深度，重点关注台阶中心、两侧的磨损模式。
数据形式：二维磨损热力图或磨损宽度数据。
（2）台阶的几何特性
台阶的宽度和长度，确保模型能够匹配实际行走条件。
（3）材料的均匀性
验证台阶材料的均匀性，确保磨损速率一致。
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非破坏性测量方法
激光扫描技术：高精度采集每一级台阶表面形状及磨损区域。
图像处理技术：通过踏面照片识别磨损区域的边界，计算磨损宽度
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其他辅助信息
使用的历史记录：如建筑物的使用时间、功能（宗教场所、住宅等）以及可能的高峰使用时期。
2.3 假设条件
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单路径假设
假设人在行走时选择固定路径，且路径宽度直接与使用人数相关。
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均匀分布假设
假设多人并排行走时，磨损分布在宽度方向上均匀。
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材料线性磨损假设
假设磨损深度与行走人次呈线性关系，不考虑非线性效应。
3. 模型推导
3.1 基本概念
- 磨损宽度与使用人数的关系
假设磨损宽度 (𝑤) 直接与同时使用人数 (𝑛) 成正比：
w = n ∗ w s i n g l e w = n * w_{single} w=n∗wsingle
其中：
- w s i n g l e w_{single} wsingle 表示单人行走时的磨损宽度（由实验确定）。
- n n n 表示同时使用人数。
3.2 磨损宽度的计算
通过测量楼梯表面磨损的宽度，计算实际磨损区域的总宽度 w t o t a l w_{total} wtotal
w t o t a l = ∫ x 1 x 2 δ ( x ) d x w_{total} = \int ^{x2}_{x1} \delta (x) dx wtotal=∫x1x2δ(x)dx
其中：
- δ ( x ) \delta (x) δ(x) 为沿台阶宽度方向的磨损深度分布。
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x 1 , x 2 \] \[x1,x2\] \[x1,x2\]为磨损区域的边界。
根据宽度与人数的比例关系，推导同时使用人数：
n = w t o t a l w s i n g l e n = \frac{w_{total}}{w_{single}} n=wsinglewtotal
4. 实施步骤
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数据采集
（1）扫描楼梯表面：使用激光扫描或3D建模获取台阶的表面形状数据，识别磨损区域。
（2）测量宽度：分析扫描数据，确定每一级台阶的磨损宽度 w t o t a l w_{total} wtotal。
（3）单人磨损宽度实验：模拟单人行走，测量单人造成的磨损宽度 w s i n g l e w_{single} wsingle。
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参数计算
（1）磨损宽度计算
利用扫描或图像处理数据，计算每一级台阶的实际磨损宽度 w t o t a l w_{total} wtotal。
（2）单人宽度标定
在实验室中模拟单人行走，获取单人磨损宽度 w s i n g l e w_{single} wsingle。
（3）使用人数计算
将 w t o t a l w_{total} wtotal 和 w s i n g l e w_{single} wsingle 带入模型：
n = w t o t a l w s i n g l e n=\frac{w_{total}}{w_{single}} n=wsinglewtotal
5. 模型验证
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实验验证
通过实验室模拟单人和多人行走行为，验证磨损宽度与人数的关系。
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实际数据验证
对已有的历史人流记录与模型预测结果进行对比，验证人数估算的准确性。
6. 复杂场景扩展
- 多路径行走
若多人并排行走时出现多个独立路径，则磨损宽度分布呈多峰模式。此时同时使用人数可以通过以下公式计算
n = ∑ i = 1 m w i w s i n g l e n=\sum^m_{i=1} \frac{w_i}{w{single}} n=i=1∑mwsinglewi
其中：
- w i w_i wi ：每个独立路径的磨损宽度
- 𝑚：路径总数
- 时间分布的考虑
如果历史记录表明高峰期和低谷期存在明显差异，可以引入时间加权因子 t k t_k tk
7. 模型结论
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模型的核心特点
基于磨损宽度分布，推导楼梯同时使用人数。
模型简单直观，易于扩展到复杂场景。
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改进方向
若材料磨损速率非线性，可引入修正因子。
结合楼梯使用记录，提高模型预测的精确性。
【未完待续，请继续关注】