一篇关于高等数理统计结合机器学习论文的撰写（如何撰写？）

前言

在大学或者研究生阶段，大家可能都会遇到一个问题就是，在上高等数理统计课程时，老师总会让同学们写一些大作业，比如论文什么的，接下来我会从计算机领域的角度，带领大家开启一篇从0到1的高等数理统计文章的撰写！

在开始撰写文章前，我们需要了解高等数理统计主要包括哪一些内容，以《高等数理统计》茆诗松版本为例，以下列出他的目录：

该书围绕高等数理统计展开，系统阐述了统计结构、常用分布族、统计量、点估计等多方面内容，具体目录如下：

1. 第一章 基本概念
   • 1.1统计结构
     • 1.1.1统计结构
     • 1.1.2乘积结构与重复抽样结构
     • 1.1.3可控结构
   • 1.2常用分布族
     • 1.2.1Gamma分布族
     • 1.2.2Beta分布族
     • 1.2.3Fisher Z分布族
     • 1.2.4t分布族
     • 1.2.5多项分布族
     • 1.2.6多元正态分布族
     • 1.2.7几个非中心分布族
   • 1.3统计及其分布
     • 1.3.1统计量
     • 1.3.2抽样分布
     • 1.3.3来自正态总体的抽样分布
     • 1.3.4次序统计量及其分布
   • 1.4统计量的近似分布
     • 1.4.1从中心极限定理获得渐近分布
     • 1.4.2随机变量序列的两种收敛性
     • 1.4.3几个重要的结果
     • 1.4.4样本的分位数及其渐近分
   • 1.5充分统计量
     • 1.5.1统计量的压缩数据功能
     • 1.5.2充分性
     • 1.5.3因子分解定理
     • 1.5.4最小充分统计量
   • 1.6完备性
     • 1.6.1分布的完备性
     • 1.6.2完备统计量
   • 1.7指数结构
     • 1.7.1定义与例子
     • 1.7.2指数型分布族的标准形式
     • 1.7.3指数型分布族的基本性质
2. 第二章 点估计
   • 2.1估计与优良性
     • 2.1.1参数及其估计
     • 2.1.2均方误差
     • 2.1.3无偏性
     • 2.1.4相合性
     • 2.1.5渐近正态性
   • 2.2无偏估计
     • 2.2.1无偏性
     • 2.2.2一致最小方差无偏估计
     • 2.2.3例题
     • 2.2.4 U统计量
   • 2.3信息不等式
     • 2.3.1 Fisher信息量
     • 2.3.2 Fisher信息与充分统计量
     • 2.3.3信息不等式
     • 2.3.4有效无偏估计
   • 2.4矩估计与替换方法
     • 2.4.1矩估计
     • 2.4.2矩估计的特点
     • 2.4.3频率替换估计
   • 2.5极大似然估计
     • 2.5.1定义与例子
     • 2.5.2相合性与渐近正态性
     • 2.5.3渐近有效性
     • 2.5.4局限性
   • 2.6最小二乘估计
     • 2.6.1最小二乘估计
     • 2.6.2最好线性无偏估计
     • 2.6.3加权最小二乘估计
   • 2.7同变估计
     • 2.7.1有偏估计
     • 2.7.2同变估计
     • 2.7.3位置参数的同变估计
     • 2.7.4尺度变换下的同变估计
     • 2.7.5最好线性同变估计
3. 第三章 假设检验
   • 3.1基本概念
     • 3.1.1假设
     • 3.1.2检验，拒绝域与检验统计量
     • 3.1.3两类错误
     • 3.1.4势函数
     • 3.1.5检验的水平
     • 3.1.6检验函数和随机化检验
     • 3.1.7充分性原则
   • 3.2 Neyman - Pearson基本引理
   • 3.3一致最优势检验
     • 3.3.1一致最优势检验
     • 3.3.2单调似然比
     • 3.3.3 检验
     • 3.3.4双边假设检验
     • 3.3.5 N - P基本引理的推广（一）
     • 3.3.6单参数指数型分布族的双边假设检验问题（一）
   • 3.4一致最优势检验
     • 3.4.1无偏检验
     • 3.4.2相似检验
     • 3.4.3 N - P基本引理的推广（二）
     • 3.4.4单参数指数型分布族的双边假设检验问题（二）
   • 3.5多参数指数型分布族的假设检验
     • 3.5.1多参数指数型分布族
     • 3.5.2多参数指数型分布族的假设检验
     • 3.5.3两个Poisson总体的比较
     • 3.5.4两个二项总体的比较
     • 3.5.5正态总体参数的检验问题
   • 3.6似然比检验
     • 3.6.1似然比检验
     • 3.6.2简单原假设的检验问题
     • 3.6.3复合原假设的检验问题
     • 3.6.4二维列联表的独立性检验
     • 3.6.5三维列联表的条件独立性检验
   • 3.7统计量检验
     • 3.7.1统计量
     • 3.7.2 U统计量的期望和方差
     • 3.7.3 U统计量的渐近正态性
     • 3.7.4两样本统计量
4. 第四章 区间估计
   • 4.1基本概念
     • 4.1.1区间估计
     • 4.1.2区间估计的可靠度
     • 4.1.3区间估计的精确度
     • 4.1.4置信水平
     • 4.1.5置信限
     • 4.1.6置信域
   • 4.2构造置信区间（置信限）的方法
     • 4.2.1枢轴量法
     • 4.2.2基于连续随机变量构造置信区间
     • 4.2.3基于离散随机变量构造置信区间
     • 4.2.4区间估计与假设检验
     • 4.2.5似然置信域
   • 4.3一致最精确的置信区间（置信限）
     • 4.3.1一致最精确的置信限
     • 4.3.2一致最精确的无偏置信限和无偏置信区间
     • 4.3.3置信区间的平均长度
   • 4.4信仰推断方法
     • 4.4.1信仰分布
     • 4.4.2函数模型
     • 4.4.3 Behrens - Fisher问题
5. 第五章 统计决策理论与Bayes分析
   • 5.1统计决策问题
     • 5.1.1决策问题
     • 5.1.2统计决策问题的三个基本要素
     • 5.1.3常用的损失函数
   • 5.2决策函数和风险函数
     • 5.2.1决策函数
     • 5.2.2风险函数
     • 5.2.3经典统计推断三种基本形式的再描述
     • 5.2.4最小最大估计
     • 5.2.5随机化决策函数
     • 5.2.6随机化决策函数的风险函数
   • 5.3决策函数的容许性
     • 5.3.1决策函数的容许性
     • 5.3.2 Stein效应
     • 5.3.3单参数指数族中的容许性问题
     • 5.3.4最小最大估计的容许性
   • 5.4 Bayes决策准则
     • 5.4.1先验分布
     • 5.4.2 Bayes风险准则
     • 5.4.3 Bayes公式
     • 5.4.4共轭先验分布
     • 5.4.5后验风险准则
   • 5.5 Bayes分析
     • 5.5.1 Bayes估计
     • 5.5.2 Bayes估计的性质
     • 5.5.3无信息先验分布
     • 5.5.4多层先验分布
     • 5.5.5可信域
6. 第六章 统计计算方法
   • 6.1随机数的产生
     • 6.1.1逆变换法
     • 6.1.2合成法
     • 6.1.3筛选抽样
     • 6.1.4连续分布的抽样方法
     • 6.1.5离散分布的抽样方法
     • 6.1.6随机向量的抽样方法
   • 6.2随机模拟计算
     • 6.2.1统计模拟
     • 6.2.2随机投点
     • 6.2.3样本平均值法
     • 6.2.4重要抽样方法
     • 6.2.5分层抽样方法
     • 6.2.6关联抽样方法
   • 6.3 EM算法及其推广
     • 6.3.1 EM算法
     • 6.3.2标准差
     • 6.3.3 GEM算法
     • 6.3.4 Monte Carlo EM算法
   • 6.4 Markov Chain Monte Carlo（MCMC）方法
     • 6.4.1基本思路
     • 6.4.2条件分布
     • 6.4.3 Gibbs抽样
     • 6.4.4 Metropols - Hastings方法
     • 6.4.5应用

一、确定总体框架

通过以上目录，我们会感觉十分抽象，还是不知道如何入手，我们就举几个简单的例子来看看：

像是泊松过程的应用，随机过程的平稳，泊松分布的形态分析，极大似然估计，最小二乘估计，假设检验，卡方拟合分布检验，统计决策等等都是书中的一些内容，我们可以将其结合一些计算机相关领域的应用进行论文撰写
接下来，就是确定论文的大概内容，下面给出一个参考（不一定要以这个为准，要以老师的要求为准）：

1、八页A4纸

2、摘要，引言，综述（国内外境况），模型，公式，数据，统计分析，参考文献

二、确定主题

讲到这里，大家可能还是觉得非常抽象，接下来，我引入一些具体的主题，大家或许就知道要怎么写了。

先给大家引入一个概念：《机器学习》。在机器学习中，许多算法的设计和优化都依赖于高等数理统计的知识。这些知识不仅帮助理解算法的工作原理，还对选择合适的模型、评估模型性能以及调整超参数至关重要。

以下是一些典型例子，展示了高等数理统计在不同机器学习算法中的应用：

1. 线性回归与广义线性模型（GLM）
   概率分布：如正态分布用于线性回归的误差假设。
   最大似然估计（MLE）：用于确定模型参数的最佳值。
   贝叶斯推断：引入先验分布来估计参数，适用于贝叶斯线性回归。
2. 逻辑回归
   Logistic函数：用作激活函数，将预测值映射到0和1之间。
   梯度下降：用于最小化负对数似然损失函数。
   正则化：如L1（Lasso）、L2（Ridge），以防止过拟合。
3. 支持向量机（SVM）
   核方法：通过核函数将数据映射到高维空间，实现非线性分类。
   拉格朗日乘子法：用于求解约束最优化问题，找到最优分割超平面。
   软间隔最大化：允许一定程度上的误分类，使用松弛变量处理不可分的数据集。
4. 决策树与随机森林
   熵与信息增益：用于特征选择，构建决策树。
   Bootstrap采样：用于生成随机森林中的多个决策树。
   Bagging与Boosting：集成学习技术，通过组合多个弱学习器提升整体性能。
5. 深度学习
   反向传播算法：基于链式法则计算梯度，更新神经网络权重。
   激活函数：如ReLU、Sigmoid等，引入非线性因素。
   正则化技术：如Dropout、Batch Normalization，提高泛化能力。
   优化器：如Adam、RMSprop等自适应学习率方法，加速收敛。
6. 聚类分析（如K-means）
   距离度量：如欧氏距离、马氏距离，定义样本间的相似性。
   初始化策略：如K-means++，改善聚类结果的质量。
   轮廓系数：评估聚类效果的一种度量。
7. 主成分分析（PCA）与降维技术
   协方差矩阵：捕捉特征之间的相关性。
   特征值分解或奇异值分解（SVD）：用于提取主成分。
   核PCA：通过核技巧扩展PCA，处理非线性结构。
8. 强化学习
   马尔可夫决策过程（MDP）：建模环境动态变化的概率框架。
   贝尔曼方程：描述最优价值函数的递归关系。
   策略梯度方法：直接优化策略参数，使得累积奖励最大化。
9. 时间序列分析
   ARIMA模型：结合自回归（AR）、积分（I）和平滑移动平均（MA）成分，预测时间序列数据。
   状态空间模型：如卡尔曼滤波器，用于估计隐含状态。
   谱分析：通过傅里叶变换研究周期性和趋势。
10. 图模型（Graphical Models）
    贝叶斯网络：表示变量间的条件独立性，进行因果推理。
    马尔可夫随机场（MRF）：用于图像处理等领域，建模局部依赖关系。
    变分推断：近似复杂后验分布，解决贝叶斯推理中的计算难题。
11. 高斯过程（Gaussian Processes）
    协方差函数/核函数：定义任意两点输出的相关性，用于插值和外推。
    贝叶斯优化：利用高斯过程作为代理模型，寻找全局最优解。

看完这些，大家发现什么，由于机器学习是在统计学基础上的，所以，是不是在机器学习的算法中，涉及到了非常多的高等数理统计的知识，像线性回归模型，就涉及到了最大似然估计，以及最小二乘估计。

所以，我们得出结论：写一篇高等数理统计结合计算机方向的论文，我们完全可以写一些，像《基于线性回归模型的股票预测》，《基于朴素贝叶斯分类器的垃圾邮件分类》等等一些机器学习的具体实际案例，都是我们可以撰写的，但是要把重点放在统计学公式的体现上。

三、个人推荐的几个项目

《基于朴素贝叶斯的垃圾邮件分类模型》

《基于线性回归的房价预测模型》

《基于神经网络的鸢尾花分类模型》

四、总结

总的来说，一篇关于高等数理统计结合机器学习论文的撰写主要分为两点：

• 1、模型的选择：重点是要写出模型的高等数理统计，如一些概率论的知识
• 2、应用的选择：重点是要找到模型的应用场景

将以上两点选择好，一定能够快速的写出一篇高质量关于高等数理统计知识与机器学习相结合的文章。