【机器学习】数学知识:拉格朗日对偶(Lagrange Duality)

拉格朗日对偶(Lagrange Duality)

1. 概念

拉格朗日对偶(Lagrange Duality)是优化理论中的一个重要方法,用于将约束优化问题转换为更易求解的对偶问题。它在凸优化、经济学、机器学习(如 SVM)等领域有广泛应用。

2. 原始问题(Primal Problem)

考虑一个标准的约束优化问题:



其中:

  • f(x) 是目标函数
  • 是不等式约束
  • 是等式约束
3. 拉格朗日函数

定义 拉格朗日函数(Lagrangian):

其中:

  • 拉格朗日乘子 (对应不等式约束)
  • 拉格朗日乘子 (对应等式约束)
4. 对偶函数

对偶函数定义为:

即,对于给定的拉格朗日乘子 (λ,μ),计算 L(x,λ,μ) 在 x 上的最小值。

5. 对偶问题(Dual Problem)

即,找出最优的 (λ,μ) 使得 θ(λ,μ) 取得最大值。

6. 弱对偶性和强对偶性
  • 弱对偶性 :对偶问题的最优值永远不大于原始问题的最优值:

  • 强对偶性(Slater 条件):如果原始问题是凸优化问题,并且满足 Slater 条件(即存在严格可行解),则对偶问题的最优值等于原始问题的最优值。

7. 计算示例

考虑优化问题:


拉格朗日函数:

对偶函数:

求导:

解得:

代入



对偶问题:

通过求导可以得到最优解。

8. 应用
  • 支持向量机(SVM):通过拉格朗日对偶求解优化问题。
  • 约束优化:在凸优化中,利用对偶问题简化计算。
  • 经济学:用于影子价格分析和资源分配。

拉格朗日对偶是一种强大的数学工具,帮助优化问题转换成更容易求解的形式。

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