六 列空间和零空间
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- [1. 列空间 C(A)](#1. 列空间 C(A))
- [2. 零空间 N(A)](#2. 零空间 N(A))
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- [2.1 定义](#2.1 定义)
- [2.2 为什么零空间是一个子空间？](#2.2 为什么零空间是一个子空间？)
- [2.3 Ax=b的解空间，是一个子空间吗？](#2.3 Ax=b的解空间，是一个子空间吗？)
1. 列空间 C(A)
c o l 11 c o l 21 c o l 31 c o l 12 c o l 22 c o l 32 c o l 13 c o l 23 c o l 33 \] ⏟ A \[ a b c \] ⏟ x = a ∗ c o l 1 + b ∗ c o l 2 + c ∗ c o l 3 \\underbrace{\\begin{bmatrix} col_{11}\&col_{21}\&col_{31}\\\\ col_{12}\&col_{22}\&col_{32}\\\\ col_{13}\&col_{23}\&col_{33} \\end{bmatrix}}_{A} \\underbrace{\\begin{bmatrix} a\\\\b\\\\c \\end{bmatrix}}_{x} =a\*col_1+b\*col_2+c\*col_3 A col11col12col13col21col22col23col31col32col33 x abc =a∗col1+b∗col2+c∗col3 将矩阵的每一列，看成一个向量，他们的所有线性组合（数乘和加法）在一个子空间中，这个子空间，记为 C(A)，即A的列空间。 > 与Ax=b联系，对于每一个b都有解吗？ > > 不是，当b在矩阵A的列空间中，有解。 线性无关：无法通过数乘和加法，计算出其他的向量。 ### 2. 零空间 N(A) #### 2.1 定义 矩阵A的零空间 ：满足 Ax =0 的所有向量。 举例： \[ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 \] ⏟ A \[ x 1 x 2 x 3 \] ⏟ x = 0 \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&1\&2\\\\ 2\&1\&3\\\\ 3\&1\&4\\\\ 4\&1\&5 \\end{bmatrix}}_{A} \\underbrace{\\begin{bmatrix} x_1\\\\x_2\\\\x_3 \\end{bmatrix}}_{x} =0 A 123411112345 x x1x2x3 =0 x = \[ 0 0 0 \] , \[ 1 1 − 1 \] , \[ − 1 − 1 1 \] . . . = c \[ 1 1 − 1 \] \\begin{aligned} x \&= \\begin{bmatrix} 0\\\\0\\\\0 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 1\\\\1\\\\-1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -1\\\\-1\\\\1 \\end{bmatrix}... \\newline \& = c\\begin{bmatrix} 1\\\\1\\\\-1 \\end{bmatrix} \\end{aligned} x= 000 , 11−1 , −1−11 ...=c 11−1 > 因为矩阵A中，前两列之和=第三列。 #### 2.2 为什么零空间是一个子空间？ A x = 0 ，已知 v 和 w 在零空间中，那么 A v = 0 , A w = 0 Ax = 0，已知v和w在零空间中，那么Av=0,Aw=0 Ax=0，已知v和w在零空间中，那么Av=0,Aw=0 验证向量空间的性质，1. 包含零向量，很明显零向量，满足 A x = 0 Ax =0 Ax=0。 2. 加法和数乘都在空间中(加法和数乘组成的线性空间)。 A ( c v ) = c A v = 0 A ( d w ) = d A w = 0 A ( c v + d w ) = A c v + A d w = 0 A(cv)=cAv=0 \\newline A(dw)=dAw=0 \\newline A(cv+dw) = Acv+Adw = 0 \\newline A(cv)=cAv=0A(dw)=dAw=0A(cv+dw)=Acv+Adw=0 > c , d c,d c,d为常数 #### 2.3 Ax=b的解空间，是一个子空间吗？ 不是，不含有零向量。