CCF-CSP第31次认证第二题------坐标变换（其二）
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题目描述
对于平面直角坐标系上的坐标 (𝑥,𝑦)(x,y)，小 P 定义了如下两种操作：
-
拉伸 𝑘k 倍：横坐标 𝑥x 变为 𝑘𝑥kx，纵坐标 𝑦y 变为 𝑘𝑦ky；
-
旋转 𝜃θ：将坐标 (𝑥,𝑦)(x,y) 绕坐标原点 (0,0)(0,0) 逆时针旋转 𝜃θ 弧度（0≤𝜃<2𝜋0≤θ<2π）。易知旋转后的横坐标为 𝑥cos𝜃−𝑦sin𝜃xcosθ−ysinθ，纵坐标为 𝑥sin𝜃+𝑦cos𝜃xsinθ+ycosθ。
设定好了包含 𝑛n 个操作的序列 (𝑡1,𝑡2,⋯,𝑡𝑛)(t1,t2,⋯,tn) 后，小 P 又定义了如下查询：
i j x y：坐标 (𝑥,𝑦)(x,y) 经过操作 𝑡𝑖,⋯,𝑡𝑗ti,⋯,tj（1≤𝑖≤𝑗≤𝑛1≤i≤j≤n）后的新坐标。
对于给定的操作序列，试计算 𝑚m 个查询的结果。
输入格式
从标准输入读入数据。
输入共 𝑛+𝑚+1n+m+1 行。
输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 𝑛n 和 𝑚m，分别表示操作和查询个数。
接下来 𝑛n 行依次输入 𝑛n 个操作，每行包含空格分隔的一个整数（操作类型）和一个实数（𝑘k 或 𝜃θ），形如 1 𝑘1 k（表示拉伸 𝑘k 倍）或 2 𝜃2 θ（表示旋转 𝜃θ）。
接下来 𝑚m 行依次输入 𝑚m 个查询，每行包含空格分隔的四个整数 𝑖i、𝑗j、𝑥x 和 𝑦y，含义如前文所述。
输出格式
输出到标准输出。
输出共 𝑚m 行，每行包含空格分隔的两个实数，表示对应查询的结果。
样例输入
10 5
2 0.59
2 4.956
1 0.997
1 1.364
1 1.242
1 0.82
2 2.824
1 0.716
2 0.178
2 4.094
1 6 -953188 -946637
1 9 969538 848081
4 7 -114758 522223
1 9 -535079 601597
8 8 159430 -511187
样例输出
-1858706.758 -83259.993
-1261428.46 201113.678
-75099.123 -738950.159
-119179.897 -789457.532
114151.88 -366009.892
样例解释
第五个查询仅对输入坐标使用了操作八：拉伸 0.7160.716 倍。
横坐标：159430×0.716=114151.88159430×0.716=114151.88
纵坐标：−511187×0.716=−366009.892−511187×0.716=−366009.892
由于具体计算方式不同，程序输出结果可能与真实值有微小差异，样例输出仅保留了三位小数。
子任务
80%80% 的测试数据满足：𝑛,𝑚≤1000n,m≤1000；
全部的测试数据满足：
-
𝑛,𝑚≤105n,m≤105；
-
输入的坐标均为整数且绝对值不超过 106106；
-
单个拉伸操作的系数 𝑘∈[0.5,2]k∈[0.5,2]；
-
任意操作区间 𝑡𝑖,⋯,𝑡𝑗ti,⋯,tj（1≤𝑖≤𝑗≤𝑛1≤i≤j≤n）内拉伸系数 𝑘k 的乘积在 [0.001,1000][0.001,1000] 范围内。
评分方式
如果你输出的浮点数与参考结果相比，满足绝对误差不大于 0.10.1，则该测试点满分，否则不得分。
提示
-
C/C++：建议使用
double类型存储浮点数，并使用scanf("%lf", &x);进行输入，printf("%f", x);输出，也可以使用cin和cout输入输出浮点数；#include <math.h>后可使用三角函数cos()和sin()。 -
Python：直接使用
print(x)即可输出浮点数x；from math import cos, sin后可使用相应三角函数。 -
Java：建议使用
double类型存储浮点数，可以使用System.out.print(x);进行输出；可使用Math.cos()和Math.sin()调用三角函数。
参考题解
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
struct Option {
int type; //操作类型
double var; //拉伸或旋转系数
};
struct Query {
int i;
int j;
int x;
int y;
};
int main () {
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
vector<Option> options(n);
for(int i = 0; i < n; i++) {
int t;
double v = 0.0;
scanf("%d%lf", &t, &v);
options[i] = {t, v};
}
vector<Query> query(m);
for(int i = 0; i < m; i++) {
int a1, a2, a3, a4;
scanf("%d%d%d%d", &a1, &a2, &a3, &a4);
// printf("%d%d%d%d", a1, a2, a3, a4);
query[i] = {a1, a2, a3, a4};
// printf("query:%d%d", query[i].x, query[i].y);
}
for(const auto& q : query) {
double x = q.x;
double y = q.y;
for(int k = q.i - 1; k < q.j; k++) {
double v = options[k].var;
if(options[k].type == 1) {
x *= v;
y *= v;
}else {
int temp = x;
x = x * cos(v) - y * sin(v);
y = temp * sin(v) + y *cos(v);
}
}
printf("%f %f\n", x, y);
}
return 0;
}
优化版
上个版本属于暴力法了，效率存在问题，时间复杂度过大
时间复杂度分析
代码在每个查询时都对操作序列进行遍历：
-
操作序列遍历 ：对于每个查询，内层循环会遍历从
i到j的所有操作。最坏情况下，如果i = 1，j = n，则内层循环会遍历整个操作序列，时间复杂度是 O(n)。 -
查询处理 ：每次查询的处理时间为 O(j - i + 1)，即 O(n) 在最坏情况下。因此，查询的总时间复杂度为 O(m * n)，其中
m是查询的个数，n是操作的个数。
总体时间复杂度：
- 在最坏情况下，时间复杂度为 O(n * m)，即 O(10^10) 的复杂度，这显然是不可接受的。
优化建议
-
前缀积法 (Prefix Product) 用于拉伸操作：
-
拉伸操作是对坐标的乘法操作，可以利用前缀积来优化。对于连续的拉伸操作，可以预先计算每个操作的前缀积，而不是每次查询时都进行重复计算。
-
前缀积 ：创建一个数组
prefix，其中prefix[i]表示从操作1到操作i所有拉伸操作的乘积。然后在查询时，只需要利用前缀积数组来快速计算出从i到j之间的拉伸操作的乘积。
-
-
旋转操作：
-
旋转操作是基于三角函数的，这个部分也可以通过前缀和类似的思想来加速，维护一个旋转角度的累积和（而不是每次都重新计算旋转矩阵）。
-
累积旋转角度：对于每个旋转操作，维护一个累积的旋转角度（角度的加法）。对于查询时，只需要计算区间内的总旋转角度，然后对该总角度应用一次旋转即可。
-
错误：输出全为0，原因：数组越界
错误：前缀数组大小设置不合适
在i = 1时，i - 2为-1，不合法，所以应将数组大小设为 n + 1 ，此时pre[i] 表示前 i 个操作的累积结果。
错误：输出为0
为什么上面这个代码输出就是0，下面这个就输出正常了？？
原来是因为定义结构体Query时将x，y定义为了int，则在第一个代码中直接修改 q.x 和 q.y 时，浮点数运算结果会被强制转换为整数，导致精度丢失。
不要看到题目中说四个整数，后面就忽略了数据精度这个问题
优化结果
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
struct Option {
int type; //操作类型
double v; //拉伸或旋转系数
};
struct Query {
int i;
int j;
int x;
int y;
};
int main () {
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
vector<Option> option(n);
for(int i = 0; i < n; i++) {
int t;
double v = 0.0;
scanf("%d%lf", &t, &v);
option[i] = {t, v};
}
vector<Query> query(m);
for(int i = 0; i < m; i++) {
int a1, a2, a3, a4;
scanf("%d%d%d%d", &a1, &a2, &a3, &a4);
query[i] = {a1, a2, a3, a4};
}
// 初始化前缀积数组和旋转角度数组
vector<double> preP(n + 1, 1.0); //拉伸系数的前缀积数组
vector<double> preR(n + 1, 0.0); //旋转系数的前缀和数组
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(option[i - 1].type == 1) {
preP[i] = preP[i - 1] * option[i - 1].v;
preR[i] = preR[i - 1];
}else {
preR[i] = preR[i - 1] + option[i - 1].v;
preP[i] = preP[i - 1];
}
}
for(auto& q : query) {
double x = q.x;
double y = q.y;
//处理拉伸
double product = preP[q.j] / preP[q.i - 1];
x *= product;
y *= product;
//处理旋转
double rotation = preR[q.j] - preR[q.i - 1];
double temp = x;
x = x * cos(rotation) - y * sin(rotation);
y = temp * sin(rotation) + y *cos(rotation);
printf("%f %f\n", x, y);
}
return 0;
}总结
误区一：直接修改原来的q值
误区二：使用了更新后的x值计算y
考虑时间效率问题，需要对问题进行简化，简化可从避免重复计算入手，此处又用到了前缀和的思想（前缀积可看作前缀和的变种）
输出全为0的可能原因
-
数组下标越界
-
数据类型问题------精度丢失
