八 求解Ax=b
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- [1. 解Ax=b](#1. 解Ax=b)
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- [求特解 x p x_p xp](#求特解 x p x_p xp)
- [求特解 x n x_n xn](#求特解 x n x_n xn)
- 所有解
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- [2. Ax=b什么时候有解](#2. Ax=b什么时候有解)
- [3. A m ∗ n A_{m * n} Am∗n不同秩的Ax=b解分析](#3. A m ∗ n A_{m * n} Am∗n不同秩的Ax=b解分析)
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- [3.1 列满秩 r=n<m](#3.1 列满秩 r=n<m)
- [3.2 行满秩 r=m<n](#3.2 行满秩 r=m<n)
- [3.3 r=m=n](#3.3 r=m=n)
- [3.4 r<m 且 r < n](#3.4 r<m 且 r < n)
- [3.5 综述](#3.5 综述)
1. 解Ax=b
求解
{ x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = b 1 2 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 + 8 x 4 = b 2 3 x 1 + 6 x 2 + 8 x 3 + 10 x 4 = b 3 \begin{cases} x_1 +2x_2 + 2x_3+2x_4 = b_1 \\ 2x_1 +4x_2 + 6x_3+8x_4 = b_2\\ 3x_1 +6x_2 + 8x_3+10x_4 = b_3\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+2x3+2x4=b12x1+4x2+6x3+8x4=b23x1+6x2+8x3+10x4=b3
消元
1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 \] ⏟ A ⇒ r o w 3 − 3 r o w 1 r o w 2 − 2 r o w 1 \[ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 2 4 b 3 − 3 b 1 \] ⇒ 行阶梯形式 r o w 3 − r o w 2 \[ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 0 0 b 3 − 3 b 1 − b 2 + 2 b 1 \] ⏟ \[主列\|自由列\|主列\|自由列\|b\] ⇒ 设 b 1 = 1 , b 2 = 5 , b 3 = 6 \[ 1 2 2 2 1 0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 \] \\begin{aligned} \\underbrace{\\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&2\&2\&b_1\\\\ 2\&4 \&6\&8\&b_2\\\\ 3\&6\&8\&10\&b_3 \\end{bmatrix}}_{A} \&\\xRightarrow\[row_3-3row_1\]{row_2-2row_1} \\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&2\&2\&b_1\\\\ 0\&0\&\\boxed{2} \&4\&b_2-2b_1\\\\ 0\&0\&2\&4\&b_3-3b_1 \\end{bmatrix} \& \\newline \& \\xRightarrow\[行阶梯形式\]{row_3-row_2} \\underbrace{\\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&2\&2\&b_1\\\\ 0\&0\&\\boxed{2} \&4\&b_2-2b_1\\\\ 0\&0\&0\&0\&b_3-3b_1-b_2+2b_1 \\end{bmatrix}}_{\\text{\[主列\|自由列\|主列\|自由列\|b\]}} \& \\newline \&\\xRightarrow{设b_1=1,b_2=5,b3=6} \\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&2\&2\&1\\\\ 0\&0\&\\boxed{2} \&4\&3\\\\ 0\&0\&0\&0\&0 \\end{bmatrix} \\end{aligned} A 1232462682810b1b2b3 row2−2row1 row3−3row1 100200222244b1b2−2b1b3−3b1 row3−row2 行阶梯形式\[主列\|自由列\|主列\|自由列\|b\] 100200220240b1b2−2b1b3−3b1−b2+2b1 设b1=1,b2=5,b3=6 100200220240130
> A x = b ⇒ { A x p = b A x n = 0 ⇒ A ( x p + x n ) = b Ax=b \\xRightarrow{} \\begin{cases} Ax_p = b \\\\ Ax_n = 0 \\end{cases} \\xRightarrow{} A(x_p+x_n) = b Ax=b {Axp=bAxn=0 A(xp+xn)=b ，其中 称 x p x_p xp为特解， x n x_n xn解的零空间
##### 求特解 x p x_p xp
令所有自由变量=0，求Ax=b中的主变量
{ x 1 + 2 x 3 = 1 2 x 3 = 3 ⇒ { x 1 = − 2 x 3 = 3 2 \\begin{cases} x_1 +2x_3 = 1 \\\\ 2x_3 = 3 \\end{cases} \\xRightarrow{} \\begin{cases} x_1 =-2 \\\\ x_3 = \\frac{3}{2} \\end{cases} {x1+2x3=12x3=3 {x1=−2x3=23
即特解 x p = \[ − 2 0 3 2 0 \] x_p=\\begin{bmatrix}-2\\\\0\\\\ \\frac{3}{2}\\\\0\\end{bmatrix} xp= −20230
##### 求特解 x n x_n xn
求 A x n = 0 Ax_n=0 Axn=0，详见[7.【线性代数】------求解Ax=0，主列和自由列](https://blog.csdn.net/sda42342342423/article/details/145705296)
x n = c \[ − 2 1 0 0 \] + d \[ 2 0 − 2 1 \] x_n = c\\begin{bmatrix} -2\\\\1\\\\0\\\\0 \\end{bmatrix} + d\\begin{bmatrix} 2\\\\ 0\\\\ -2\\\\ 1 \\end{bmatrix} xn=c −2100 +d 20−21
##### 所有解
x n = \[ − 2 0 3 2 0 \] + c \[ − 2 1 0 0 \] + d \[ 2 0 − 2 1 \] x_n = \\begin{bmatrix}-2\\\\0\\\\ \\frac{3}{2}\\\\0\\end{bmatrix} + c\\begin{bmatrix} -2\\\\1\\\\0\\\\0 \\end{bmatrix} + d\\begin{bmatrix} 2\\\\ 0\\\\ -2\\\\ 1 \\end{bmatrix} xn= −20230 +c −2100 +d 20−21
### 2. Ax=b什么时候有解
当且仅当 b在[C(A)](https://blog.csdn.net/sda42342342423/article/details/145686432)中
### 3. A m ∗ n A_{m \* n} Am∗n不同秩的Ax=b解分析
R矩阵表示A矩阵经过消元和简化行阶梯形式的矩阵。
#### 3.1 列满秩 r=n\