8.【线性代数】——求解Ax=b

八求解Ax=b

- [1. 解Ax=b](#1. 解Ax=b)
- - - [求特解 x p x_p xp](#求特解 x p x_p xp)
    - [求特解 x n x_n xn](#求特解 x n x_n xn)
    - 所有解
- [2. Ax=b什么时候有解](#2. Ax=b什么时候有解)
- [3. A m ∗ n A_{m * n} Am∗n不同秩的Ax=b解分析](#3. A m ∗ n A_{m * n} Am∗n不同秩的Ax=b解分析)
- - [3.1 列满秩 r=n<m](#3.1 列满秩 r=n<m)
  - [3.2 行满秩 r=m<n](#3.2 行满秩 r=m<n)
  - [3.3 r=m=n](#3.3 r=m=n)
  - [3.4 r<m 且 r < n](#3.4 r<m 且 r < n)
  - [3.5 综述](#3.5 综述)

1. 解Ax=b

求解
{ x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = b 1 2 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 + 8 x 4 = b 2 3 x 1 + 6 x 2 + 8 x 3 + 10 x 4 = b 3 \begin{cases} x_1 +2x_2 + 2x_3+2x_4 = b_1 \\ 2x_1 +4x_2 + 6x_3+8x_4 = b_2\\ 3x_1 +6x_2 + 8x_3+10x_4 = b_3\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+2x3+2x4=b12x1+4x2+6x3+8x4=b23x1+6x2+8x3+10x4=b3

消元
[ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] ⏟ A ⇒ r o w 3 − 3 r o w 1 r o w 2 − 2 r o w 1 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 2 4 b 3 − 3 b 1 ] ⇒ 行阶梯形式 r o w 3 − r o w 2 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 0 0 b 3 − 3 b 1 − b 2 + 2 b 1 ] ⏟ [主列|自由列|主列|自由列|b] ⇒ 设 b 1 = 1 , b 2 = 5 , b 3 = 6 [ 1 2 2 2 1 0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 ] \begin{aligned} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2&b_1\\ 2&4 &6&8&b_2\\ 3&6&8&10&b_3 \end{bmatrix}}{A} &\xRightarrow[row_3-3row_1]{row_2-2row_1} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2&b_1\\ 0&0&\boxed{2} &4&b_2-2b_1\\ 0&0&2&4&b_3-3b_1 \end{bmatrix} & \newline & \xRightarrow[行阶梯形式]{row_3-row_2} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2&b_1\\ 0&0&\boxed{2} &4&b_2-2b_1\\ 0&0&0&0&b_3-3b_1-b_2+2b_1 \end{bmatrix}}{\text{[主列|自由列|主列|自由列|b]}} & \newline &\xRightarrow{设b_1=1,b_2=5,b3=6} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2&1\\ 0&0&\boxed{2} &4&3\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \end{aligned} A 1232462682810b1b2b3 row2−2row1 row3−3row1 100200222244b1b2−2b1b3−3b1 row3−row2 行阶梯形式[主列|自由列|主列|自由列|b] 100200220240b1b2−2b1b3−3b1−b2+2b1 设b1=1,b2=5,b3=6 100200220240130

A x = b ⇒ { A x p = b A x n = 0 ⇒ A ( x p + x n ) = b Ax=b \xRightarrow{} \begin{cases} Ax_p = b \\ Ax_n = 0 \end{cases} \xRightarrow{} A(x_p+x_n) = b Ax=b {Axp=bAxn=0 A(xp+xn)=b ，其中称 x p x_p xp为特解， x n x_n xn解的零空间

求特解 x p x_p xp

令所有自由变量=0，求Ax=b中的主变量
{ x 1 + 2 x 3 = 1 2 x 3 = 3 ⇒ { x 1 = − 2 x 3 = 3 2 \begin{cases} x_1 +2x_3 = 1 \\ 2x_3 = 3 \end{cases} \xRightarrow{} \begin{cases} x_1 =-2 \\ x_3 = \frac{3}{2} \end{cases} {x1+2x3=12x3=3 {x1=−2x3=23

即特解 x p = [ − 2 0 3 2 0 ] x_p=\begin{bmatrix}-2\\0\\ \frac{3}{2}\\0\end{bmatrix} xp= −20230

求特解 x n x_n xn

求 A x n = 0 Ax_n=0 Axn=0，详见7.【线性代数】------求解Ax=0，主列和自由列
x n = c [ − 2 1 0 0 ] + d [ 2 0 − 2 1 ] x_n = c\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} xn=c −2100 +d 20−21

所有解

x n = [ − 2 0 3 2 0 ] + c [ − 2 1 0 0 ] + d [ 2 0 − 2 1 ] x_n = \begin{bmatrix}-2\\0\\ \frac{3}{2}\\0\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} xn= −20230 +c −2100 +d 20−21

2. Ax=b什么时候有解

当且仅当 b在C(A)中

3. A m ∗ n A_{m * n} Am∗n不同秩的Ax=b解分析

R矩阵表示A矩阵经过消元和简化行阶梯形式的矩阵。

3.1 列满秩 r=n<m

推出 R = [ I 0 ] R =\begin{bmatrix} I\\0 \end{bmatrix} R=[I0],没有自由变量，也就没有零空间的解，那么 x = x p x=x_p x=xp，如果解存在，解唯一。所以有0/1个解。

3.2 行满秩 r=m<n

推出 R = [ I F ] R =\begin{bmatrix} I\\F \end{bmatrix} R=[IF],有自由变量n-m，有零空间的解，所以有无数个解。

3.3 r=m=n

推出 R = I R =I R=I,没有自由变量，也就没有零空间的解，那么 x = x p x=x_p x=xp。

解肯定存在，因为 R = I R=I R=I，所以有1个解

3.4 r<m 且 r < n

推出 R = [ I F 0 0 ] R =\begin{bmatrix} I &F\\0&0 \end{bmatrix} R=[I0F0],有自由变量，有零空间的解，如果有特解，那么有无穷解，否则无解。所以有无穷解或者无解。

3.5 综述

矩阵的秩 r r r	r=n<m	r=m<n	r=m=n	r<m,r<n
矩阵R	[ I 0 ] \begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix} [I0]	[ I F ] \begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix} [IF]	I I I	[ I F 0 0 ] \begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix} [I0F0]
Ax=b解的个数	0/1	无穷	1	无解或者无穷