目录
- 0.介绍
- 1.概述｜空间位置、姿态的描述（3×3）｜《动手学机器人学》
- [2.（2）-Robotics Toolbox①（V10.4）](#2.（2）-Robotics Toolbox①（V10.4）)
- 3.齐次坐标与变换矩阵
- 4.一般形式的旋转变换矩阵
- [5.（轴角法）或（Rodrigues' rotation formula）或（罗德里格旋转公式）或（一般形式的旋转变换矩阵）详细推导证明](#5.（轴角法）或（Rodrigues' rotation formula）或（罗德里格旋转公式）或（一般形式的旋转变换矩阵）详细推导证明)
- 6.空间位姿表示方法-----RPY角
- [7.欧拉角 | 空间位姿表示方法 |《动手学机器人学》](#7.欧拉角 | 空间位姿表示方法 |《动手学机器人学》)
- 8.标准DH参数详解+案例分析【1】
0.介绍
原课程来源于b站劉海濤LHT，链接：【《动手学机器人学》开课了】 https://www.bilibili.com/video/BV1CY4y1W7Ry/?share_source=copy_web\&vd_source=338eeada513a018955017f069032f82c
1.概述｜空间位置、姿态的描述（3×3）｜《动手学机器人学》
1.1正运动学（forward kinematics，简写FK），根据机器人的关节角度，计算末端位姿
1.2逆运动学（inverse kinematics，简写IK），根据末端位姿，反解关节角
1.3
1.4除了空间某点位置还需要确定空间物体方位，用旋转矩阵表示
2.（2）-Robotics Toolbox①（V10.4）
2.2 相关命令
matlab
% 二维空间姿态
>> SE2(1,2,pi/3)
ans =
0.5000 -0.8660 1
0.8660 0.5000 2
0 0 1
>> trplot(ans)
matlab
% 纯平移
>> transl2(1,2)
ans =
1 0 1
0 1 2
0 0 1
% 绕x轴旋转，角度一定要用弧度制
>> rotx(pi/3)
ans =
1.0000 0 0
0 0.5000 -0.8660
0 0.8660 0.5000
% 绕y轴旋转
>> roty(pi/3)
ans =
0.5000 0 0.8660
0 1.0000 0
-0.8660 0 0.5000
% 绕z轴旋转
>> rotz(pi/3)
ans =
0.5000 -0.8660 0
0.8660 0.5000 0
0 0 1.0000
% 齐次
>> trotx(pi/3)
ans =
1.0000 0 0 0
0 0.5000 -0.8660 0
0 0.8660 0.5000 0
0 0 0 1.0000
>> troty(pi/3)
ans =
0.5000 0 0.8660 0
0 1.0000 0 0
-0.8660 0 0.5000 0
0 0 0 1.0000
>> trotz(pi/3)
ans =
0.5000 -0.8660 0 0
0.8660 0.5000 0 0
0 0 1.0000 0
0 0 0 1.0000
>> rotx(pi/3)
ans =
1.0000 0 0
0 0.5000 -0.8660
0 0.8660 0.5000
% 三维轨迹
>> trplot(ans)
% 动画演示（图略）
>> tranimate(ans)
3.齐次坐标与变换矩阵
3.1齐次坐标用 n + 1 n+1 n+1维来代表 n n n维坐标
3.2 引入齐次坐标的目的是，合并矩阵运算中的乘法和加法
3.3 （特别重要）矩阵的左乘和右乘的运动解释是不一样的。对于固定坐标系：变化顺序"从右向左"；对于相对坐标系：变化顺序"从左向右"。
说明这个物体在空间里做刚体运动。
4.一般形式的旋转变换矩阵
4.1 通用的旋转变换矩阵：已知旋转轴和旋转角度，得到旋转矩阵
4.2 已知旋转矩阵，得到旋转轴和旋转角度（过程略）
旋转角度 θ = a r c c o s ( . . . ) \theta=arccos(...) θ=arccos(...)
旋转轴
注意：存在多解，等效轴和转角不唯一，一般角度在0度到180度
这题就能解了
4.3 matlab中的函数
matlab
% 已知旋转角度和旋转轴，求旋转矩阵
>> angvec2r(pi/3,[1,0,0])
ans =
1.0000 0 0
0 0.5000 -0.8660
0 0.8660 0.5000
>> rotx(pi/3)
ans =
1.0000 0 0
0 0.5000 -0.8660
0 0.8660 0.5000
% 齐次
>> angvec2tr(pi/3,[1,0,0])
ans =
1.0000 0 0 0
0 0.5000 -0.8660 0
0 0.8660 0.5000 0
0 0 0 1.00004.4 练习题
matlab
function [f,theta] = resolve_f_theta(T)
nx = T(1,1); ox = T(1,2); ax = T(1,3);
ny = T(2,1); oy = T(2,2); ay = T(2,3);
nz = T(3,1); oz = T(3,2); az = T(3,3);
theta = acos(0.5*(nx + oy + az - 1));
if(theta == 0 || theta == 180)
fprintf("error!");
else
fx = (oz - ay)/(2*sin(theta));
fy = (ax - nz)/(2*sin(theta));
fz = (ny - ox)/(2*sin(theta));
f = [fx,fy,fz];
end
end
matlab
>> [f,theta] = resolve_f_theta([0 1 0;0 0 -1;-1 0 0])
f =
0.5774 0.5774 -0.5774
theta =
2.0944
>> 2*pi/3
ans =
2.0944
>> sqrt(3)/3
ans =
0.57745.（轴角法）或（Rodrigues' rotation formula）或（罗德里格旋转公式）或（一般形式的旋转变换矩阵）详细推导证明
5.1 一般形式旋转矩阵公式证明
这个公式的意义，空间中给定任意的向量v，绕着旋转轴和旋转角，得到旋转后的向量v'
matlab
>> t=2*pi/3
t =
2.0944
>> u = [sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3]'
u =
0.5774
0.5774
-0.5774
>> v = [1 2 3]'
v =
1
2
3
>> result = cos(t)*v + (1-cos(t))*dot(u,v)*u+sin(t)*cross(u,v)
result =
2.0000
-3.0000
-1.0000进一步化简成矩阵形式
5.2 齐次坐标变换
6.空间位姿表示方法-----RPY角
6.1 RPY角
matlab
syms alpha beta gamma T1 T2 T3 RPY
T1 = [cos(alpha) -sin(alpha) 0;sin(alpha) cos(alpha) 0; 0 0 1];
T2 = [cos(beta) 0 sin(beta);0 1 0;-sin(beta) 0 cos(beta)];
T3 = [1 0 0;0 cos(gamma) -sin(gamma); 0 sin(gamma) cos(gamma)];
RPY = T1*T2*T3;
display(RPY);
matlab
% 给RPY角输出旋转矩阵
>> rpy2r(pi/6,pi/3,pi/4)
ans =
0.3536 -0.3062 0.8839
0.3536 0.9186 0.1768
-0.8660 0.2500 0.4330
% RPY角分别对应绕x,y,z轴旋转
>> rotz(pi/4)*roty(pi/3)*rotx(pi/6)
ans =
0.3536 -0.3062 0.8839
0.3536 0.9186 0.1768
-0.8660 0.2500 0.4330
>> rpy2tr(pi/6,pi/3,pi/4)
ans =
0.3536 -0.3062 0.8839 0
0.3536 0.9186 0.1768 0
-0.8660 0.2500 0.4330 0
0 0 0 1.0000
% 已知旋转矩阵得到RPY角
>> tr2rpy(ans)
ans =
0.5236 1.0472 0.7854
>> pi/6
ans =
0.5236
>> pi/3
ans =
1.0472
>> pi/4
ans =
0.7854
>> atan2(1,2)
ans =
0.4636
% 转化为角度
>> atan2d(1,2)
ans =
26.56516.2 
matlab
>> T =[0.527 -0.574 0.628 3;0.369 0.819 0.439 2;-0.766 0 0.643 -4;0 0 0 1]
T =
0.5270 -0.5740 0.6280 3.0000
0.3690 0.8190 0.4390 2.0000
-0.7660 0 0.6430 -4.0000
0 0 0 1.0000
>> rpy=tr2rpy(T);
>> display(rpy)
rpy =
0 0.8725 0.6109
>> rpy2r(rpy)
ans =
0.5267 -0.5736 0.6274
0.3688 0.8192 0.4393
-0.7659 0 0.64297.欧拉角 | 空间位姿表示方法 |《动手学机器人学》
7.1 欧拉角
matlab
>> [alpha, beta, gamma] = resolve_zyz_theta([0.527 -0.574 0.628;0.369 0.819 0.439;-0.766 0 0.643])
alpha =
0.6101
beta =
0.8725
gamma =
0
% 欧拉角变旋转矩阵
>> eul2r([alpha, beta, gamma])
ans =
0.5269 -0.5729 0.6277
0.3684 0.8196 0.4388
-0.7659 0 0.64297.2 matlab常用函数
matlab
>> eul2r([pi/6 pi/4 pi/3])
ans =
-0.1268 -0.7803 0.6124
0.9268 0.1268 0.3536
-0.3536 0.6124 0.7071
>> eul2tr([pi/6 pi/4 pi/3])
ans =
-0.1268 -0.7803 0.6124 0
0.9268 0.1268 0.3536 0
-0.3536 0.6124 0.7071 0
0 0 0 1.0000
% tr2eul(ans,'deg')能直接输出角度
>> tr2eul(ans)
ans =
0.5236 0.7854 1.0472
>> ans*180/pi
ans =
30.0000 45.0000 60.00008.标准DH参数详解+案例分析【1】
8.1 DH参数法描述串联式连杆和关节的系统方法
DH参数法式描述串联式连杆和关节的系统方法。
8.2 有两种DH参数法：标准DH和改进的DH参数
改进的DH参数法坐标系{i}建立在{i}关节的轴线上，而不是标准DH方法将坐标系{i}建立在{i+1}关节的轴线上
因为matlab工具箱theta默认是0度
PQArt软件也可以进行机器人仿真
