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线性规划
线性规划的基本概念
线性规划问题可以分为两类问题：
（1）如何合理地使用有限的资源以得到最大的效益。
（2）为了达到一定的目的，如何组织生产或安排相关计划以使消耗资源达到最少。
决策变量 ：问题中可以控制的变化的因素，通常记为： x i , i = 1 , 2 , . . . , n x_i,i=1,2,...,n xi,i=1,2,...,n它的值可以至少在某一个范围内变化，决策变量可以分为两类：离散变量和连续变量。
目标函数 ：通过决策变量构造的函数来表达决策者的某种愿望。
约束条件：问题中所满足的条件。
线性规划的数学模型
此类规划问题具有以下特征：
（1）用决策变量表示可控因素，变量的一组取值 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (x_1,x_2,...,x_n) (x1,x2,...,xn)代表一个解决方案，通常要求非负。
（2）存在一定的约束条件，可以用自变量的线性方程或者线性不等式来表示。
（3）都有一个需达成的目标，该目标是自变量的线性函数，称为目标函数，根据需要使目标函数最大化或者最小化。
其一般的模式：
max z = ∑ i = 1 n c i x i s . t . { ∑ j = 1 n a 1 j x j ⩽ b 1 ∑ j = 1 n a 2 j x j ⩽ b 2 . . . . . . ∑ j = 1 n a m j x j ⩽ b m x 1 . . . , x i . . . , x n ⩾ 0 \max z=\sum_{i=1}^n{c_ix_i} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \sum_{j=1}^n{a_{1j}x_j}\leqslant b_1\\ \sum_{j=1}^n{a_{2j}x_j}\leqslant b_2\\ ......\\ \sum_{j=1}^n{a_{mj}x_j}\leqslant b_m\\ x_1...,x_i...,x_n\geqslant 0\\ \end{array} \right. maxz=i=1∑ncixis.t.⎩ ⎨ ⎧∑j=1na1jxj⩽b1∑j=1na2jxj⩽b2......∑j=1namjxj⩽bmx1...,xi...,xn⩾0
线性规划的标准模型
由于线性规划模型的目标函数和约束条件各有多种表现形式，为了得到一种普适的求解方法，要将其标准化：
- 目标函数一律是求最大值
- 约束条件为等式
- 约束条件右端的常数项 b i b_i bi一律为非负值，即 b i ⩾ 0 b_i\geqslant0 bi⩾0
- 变量 x j x_j xj取值一律为非负值，即 x j ⩾ 0 x_j\geqslant0 xj⩾0
标准形式的表示方法有如下三种：
- max z = ∑ i = 1 n c i x i s . t . { ∑ j = 1 n a 1 j x j ⩽ b 1 ∑ j = 1 n a 2 j x j ⩽ b 2 . . . . . . ∑ j = 1 n a m j x j ⩽ b m x 1 . . . , x i . . . , x n ⩾ 0 \max z=\sum_{i=1}^n{c_ix_i} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \sum_{j=1}^n{a_{1j}x_j}\leqslant b_1\\ \sum_{j=1}^n{a_{2j}x_j}\leqslant b_2\\ ......\\ \sum_{j=1}^n{a_{mj}x_j}\leqslant b_m\\ x_1...,x_i...,x_n\geqslant 0\\ \end{array} \right. maxz=i=1∑ncixis.t.⎩ ⎨ ⎧∑j=1na1jxj⩽b1∑j=1na2jxj⩽b2......∑j=1namjxj⩽bmx1...,xi...,xn⩾0
- max z = ∑ i = 1 n c i x i s . t . { ∑ j = 1 n a i j x j ⩽ b i , i = 1 , . . . , m x j ⩾ 0 , j = 1 , 2 , . . . , n \max z=\sum_{i=1}^n{c_ix_i} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \sum_{j=1}^n{a_{ij}x_j}\leqslant b_i,i=1,...,m\\ x_j\geqslant 0,j=1,2,...,n\\ \end{array} \right. maxz=i=1∑ncixis.t.{∑j=1naijxj⩽bi,i=1,...,mxj⩾0,j=1,2,...,n
3. max z = C X s . t . { A X = b X ⩾ 0 \max z=\boldsymbol{CX} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \boldsymbol{AX}=\boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{X}\geqslant 0\\ \end{array} \right. maxz=CXs.t.{AX=bX⩾0
对非标准形式标准化
- 目标函数的转化 :
最小值的话就乘 − 1 -1 −1 - 约束条件右端常数项化为非负值 :
同乘 − 1 -1 −1,注意不等式要变号 - 不等式约束转化为等式约束 ：
引入偏差变量：偏差变量恒正 - 变量约束的转化 ：
如果 x j ⩽ 0 x_j\leqslant0 xj⩽0,令 x j ′ = − x j x_{j}^{'}=-x_j xj′=−xj即可，显然 x j ′ ⩾ 0 x_{j}^{'}\geqslant0 xj′⩾0
如果无约束是自由变量可以： x j x_{j} xj= x j ′ − x j ′ ′ x_{j}^{'}-x_{j}^{''} xj′−xj′′ , x j ′ ⩾ 0 x_{j}^{'}\geqslant0 xj′⩾0, x j ′ ′ ⩾ 0 x_{j}^{''}\geqslant0 xj′′⩾0
线性规划的典型建模：运输问题
运输问题 ：某物资有 m m m个产地 A 1 A_1 A1, A 2 A_2 A2... A m A_m Am,其产量分别为 a 1 a_1 a1, a 2 a_2 a2... a m a_m am;有 n n n个销地 B 1 B_1 B1, B 2 B_2 B2... B m B_m Bm,其销量分别为 b 1 b_1 b1, b 2 b_2 b2... b m b_m bm;从产地 A i A_{i} Ai到销地 B j B_{j} Bj的单位运价为 c i j c_{ij} cij,问怎样调运物资才能使得总运费最少？
数学模型的建立
设从 A i A_{i} Ai到销地 B j B_{j} Bj的运输量为 x i j x_{ij} xij则该问题的数学模型：
min z = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n c i j x i j s . t . { ∑ i = 1 m x i j ⩾ b j , j = 1 , 2 , . . . , n ∑ j = 1 n x i j ⩽ a i , i = 1 , 2 , . . . , m x i j ⩾ 0 , j = 1 , 2 , . . . , n , i = 1 , 2 , . . . , m \min z=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{c_{ij}x_{ij}}} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \sum_{i=1}^m{x_{ij}}\geqslant b_j,j=1,2,...,n\\ \sum_{j=1}^n{x_{ij}}\leqslant a_i,i=1,2,...,m\\ x_{ij}\geqslant 0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m\\ \end{array} \right. minz=i=1∑mj=1∑ncijxijs.t.⎩ ⎨ ⎧∑i=1mxij⩾bj,j=1,2,...,n∑j=1nxij⩽ai,i=1,2,...,mxij⩾0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m
根据总供给量 ∑ i = 1 m a i \sum_{i=1}^{m}a_i ∑i=1mai和总需求量 ∑ j = 1 n b j \sum_{j=1}^{n}b_j ∑j=1nbj之间的关系，可以将运输问题分为两类：
（1）当 ∑ i = 1 m a i = ∑ j = 1 n b j \sum_{i=1}^{m}a_i=\sum_{j=1}^{n}b_j ∑i=1mai=∑j=1nbj，称为产销平衡运输问题
（2）当 ∑ i = 1 m a i ≠ ∑ j = 1 n b j \sum_{i=1}^{m}a_i\ne\sum_{j=1}^{n}b_j ∑i=1mai=∑j=1nbj,称为产销不平衡运输问题
-
产销平衡的运输问题数学模型建模为：
min z = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n c i j x i j s . t . { ∑ i = 1 m x i j = b j , j = 1 , 2 , . . . , n ∑ j = 1 n x i j = a i , i = 1 , 2 , . . . , m x i j ⩾ 0 , j = 1 , 2 , . . . , n , i = 1 , 2 , . . . , m ∑ i = 1 m a i = ∑ j = 1 n b j \min z=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{c_{ij}x_{ij}}} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{c} \sum_{i=1}^m{x_{ij}}=b_j,j=1,2,...,n\\ \sum_{j=1}^n{x_{ij}}=a_i,i=1,2,...,m\\ x_{ij}\geqslant 0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m\\ \end{array}\\ \sum_{i=1}^m{a_i}=\sum_{j=1}^n{b_j}\\ \end{array} \right. minz=i=1∑mj=1∑ncijxijs.t.⎩ ⎨ ⎧∑i=1mxij=bj,j=1,2,...,n∑j=1nxij=ai,i=1,2,...,mxij⩾0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m∑i=1mai=∑j=1nbj -
产销不平衡的运输问题
2.1 产大于销 ：构造一个假象的销售地 B n + 1 B_{n+1} Bn+1，其需求量为总产量与总销量之差，即 b n + 1 = ∑ i = 1 m a i − ∑ j = 1 n b j b_{n+1}=\sum_{i=1}^m{a_i}-\sum_{j=1}^n{b_j} bn+1=i=1∑mai−j=1∑nbj
c i , n + 1 = 0 c_{i,n+1}=0 ci,n+1=0那么模型可改写为：
min z = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n + 1 c i j x i j s . t . { ∑ i = 1 m x i j = b j , j = 1 , 2 , . . . , n + 1 ∑ j = 1 n + 1 x i j = a i , i = 1 , 2 , . . . , m x i j ⩾ 0 , j = 1 , 2 , . . . , n + 1 , i = 1 , 2 , . . . , m \min z=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^{n+1}{c_{ij}x_{ij}}} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \sum_{i=1}^m{x_{ij}}=b_j,j=1,2,...,n+1\\ \sum_{j=1}^{n+1}{x_{ij}}=a_i,i=1,2,...,m\\ x_{ij}\geqslant 0,j=1,2,...,n+1,i=1,2,...,m\\ \end{array} \right. minz=i=1∑mj=1∑n+1cijxijs.t.⎩ ⎨ ⎧∑i=1mxij=bj,j=1,2,...,n+1∑j=1n+1xij=ai,i=1,2,...,mxij⩾0,j=1,2,...,n+1,i=1,2,...,m2.2销大于产 ：构造一个假想的产地 A m + 1 A_{m+1} Am+1，其产量为总产量与总销量之差，即 a m + 1 = ∑ j = 1 n b j − ∑ i = 1 m a i a_{m+1}=\sum_{j=1}^n{b_j}-\sum_{i=1}^m{a_i} am+1=j=1∑nbj−i=1∑mai
c m + 1 , j = 0 c_{m+1,j}=0 cm+1,j=0那么模型可改写为：
min z = ∑ i = 1 m + 1 ∑ j = 1 n c i j x i j s . t . { ∑ i = 1 m + 1 x i j = b j , j = 1 , 2 , . . . , n ∑ j = 1 n x i j = a i , i = 1 , 2 , . . . , m + 1 x i j ⩾ 0 , j = 1 , 2 , . . . , n , i = 1 , 2 , . . . , m + 1 \min z=\sum_{i=1}^{m+1}{\sum_{j=1}^{n}{c_{ij}x_{ij}}} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \sum_{i=1}^{m+1}{x_{ij}}=b_j,j=1,2,...,n\\ \sum_{j=1}^{n}{x_{ij}}=a_i,i=1,2,...,m+1\\ x_{ij}\geqslant 0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m+1\\ \end{array} \right. minz=i=1∑m+1j=1∑ncijxijs.t.⎩ ⎨ ⎧∑i=1m+1xij=bj,j=1,2,...,n∑j=1nxij=ai,i=1,2,...,m+1xij⩾0,j=1,2,...,n,i=1,2,...,m+1 -
有转运的运输问题
实际生活中一个站点不可能只做输入输出，于是就存在了中转站。
转运问题的思路是将其转化为产销平衡问题，为此假设最大可能中转量 Q Q Q为某个大于等于总产量 ∑ i = 1 m a i \sum_{i=1}^{m}a_i ∑i=1mai的数，具有以下特点：
（1）产销平衡时候： Q = ∑ i = 1 m a i = ∑ j = 1 m b j Q=\sum_{i=1}^{m}a_i=\sum_{j=1}^{m}b_j Q=i=1∑mai=j=1∑mbj
（2）纯中转站视为输入输出量为 Q Q Q的一个产地和销地
（3）兼中转站的产地 A i A_i Ai视为输入量为 Q − a i Q-a_i Q−ai的销地和输出量为 Q Q Q的产地
（3）兼中转站的销地 B j B_j Bj视为输出量为 Q − b j Q-b_j Q−bj的销地和输入量为 Q Q Q的销地