Starlink卫星动力学系统仿真建模第十讲-基于SMC和四元数的卫星姿态控制示例及Python实现

基于四元数与滑模控制的卫星姿态控制

一、基本原理

1. 四元数姿态表示

四元数运动学方程：

3. 滑模控制设计

二、代码实现（Python）

1. 四元数运算工具

python 复制代码

import numpy as np

def quat_mult(q1, q2):
    """四元数乘法"""
    w1, x1, y1, z1 = q1
    w2, x2, y2, z2 = q2
    w = w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2
    x = w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2
    y = w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2
    z = w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2
    return np.array([w, x, y, z])

def quat_conj(q):
    """四元数共轭"""
    return np.array([q[0], -q[1], -q[2], -q[3]])

def quat_error(q_current, q_desired):
    """计算误差四元数 q_e = q_desired ⊗ q_current^{-1}"""
    q_conj = quat_conj(q_current)
    return quat_mult(q_desired, q_conj)

2. 滑模控制器

python 复制代码

class QuaternionSMC:
    def __init__(self, J, lambda_, K, dt):
        self.J = J          # 转动惯量矩阵 (3x3)
        self.lambda_ = lambda_
        self.K = K          # 切换增益
        self.dt = dt
    
    def compute_control(self, q, omega, q_d, omega_d):
        # 计算误差四元数
        q_e = quat_error(q, q_d)
        q_e_v = q_e[1:]     # 提取向量部分 [q1, q2, q3]
        
        # 角速度误差
        omega_e = omega - omega_d
        
        # 滑模面 s = omega_e + lambda * q_e_v
        s = omega_e + self.lambda_ * q_e_v
        
        # 等效控制 u_eq = J*(d(omega_d)/dt - lambda*0.5*omega × q_e_v) + omega × J omega
        # 假设目标角加速度为0（omega_d为常数）
        u_eq = np.dot(self.J, -self.lambda_ * 0.5 * np.cross(omega, q_e_v)) \
               + np.cross(omega, np.dot(self.J, omega))
        
        # 切换控制 u_sw = -K * sign(s)
        u_sw = -self.K * np.sign(s)
        
        # 总控制力矩
        u = u_eq + u_sw
        return u

3. 卫星姿态动力学仿真

python 复制代码

def simulate_satellite_attitude():
    # 参数初始化
    J = np.diag([100, 100, 80])  # 转动惯量 (kg·m²)
    lambda_ = 0.5
    K = 20.0
    dt = 0.01
    
    # 初始状态
    q = np.array([1.0, 0.0, 0.0, 0.0])  # 初始姿态（无旋转）
    omega = np.array([0.0, 0.0, 0.0])    # 初始角速度
    q_d = np.array([0.707, 0.0, 0.707, 0.0])  # 目标姿态（绕x轴旋转90度）
    omega_d = np.array([0.0, 0.0, 0.0])        # 目标角速度
    
    controller = QuaternionSMC(J, lambda_, K, dt)
    
    # 记录数据
    time = np.arange(0, 10, dt)
    q_history = []
    omega_history = []
    
    for t in time:
        # 计算控制力矩
        u = controller.compute_control(q, omega, q_d, omega_d)
        
        # 加入扰动（模拟太阳辐射压力）
        disturbance = np.array([0.1*np.sin(t), 0.1*np.cos(t), 0.05*np.sin(2*t)])
        u += disturbance
        
        # 更新角速度（欧拉积分）
        omega_dot = np.linalg.inv(J).dot(-np.cross(omega, J.dot(omega)) + u/J.diagonal()
        omega = omega + omega_dot * dt
        
        # 更新四元数（四阶龙格-库塔法）
        k1 = 0.5 * quat_mult(q, np.array([0, omega[0], omega[1], omega[2]]))
        k2 = 0.5 * quat_mult(q + 0.5*dt*k1, np.array([0, omega[0], omega[1], omega[2]]))
        k3 = 0.5 * quat_mult(q + 0.5*dt*k2, np.array([0, omega[0], omega[1], omega[2]]))
        k4 = 0.5 * quat_mult(q + dt*k3, np.array([0, omega[0], omega[1], omega[2]]))
        q = q + (dt/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
        q /= np.linalg.norm(q)  # 归一化
        
        # 记录数据
        q_history.append(q)
        omega_history.append(omega)
    
    return time, np.array(q_history), np.array(omega_history)

三、使用示例

可视化代码

python 复制代码

import matplotlib.pyplot as plt

time, q_history, omega_history = simulate_satellite_attitude()

# 绘制四元数误差
plt.figure()
plt.plot(time, q_history[:, 0], label='q0')
plt.plot(time, q_history[:, 1], label='q1')
plt.plot(time, q_history[:, 2], label='q2')
plt.plot(time, q_history[:, 3], label='q3')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Quaternion')
plt.legend()
plt.title('Attitude Quaternion')

# 绘制角速度
plt.figure()
plt.plot(time, omega_history[:, 0], label='ω_x')
plt.plot(time, omega_history[:, 1], label='ω_y')
plt.plot(time, omega_history[:, 2], label='ω_z')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Angular Velocity (rad/s)')
plt.legend()
plt.title('Angular Velocity')
plt.show()

四、改进与注意事项

自适应增益 ：
- 根据扰动估计动态调整 ( K )，降低保守性。
执行器饱和 ：
- 在控制律中增加力矩限幅，避免超出执行器能力。

五、总结

优势：
- 四元数避免奇异性，滑模控制提供强鲁棒性，适合存在扰动和模型不确定性的卫星姿态控制。
挑战：
- 抖振可能影响执行器寿命，需结合高阶滑模或滤波技术。
应用扩展 ：
- 可结合姿态确定系统（如星敏感器、陀螺仪）实现闭环控制。