文章目录
- 前言
- [一、阶跃函数(Unit Step Function)](#一、阶跃函数(Unit Step Function))
- [二、冲激函数(Dirac Delta Function)](#二、冲激函数(Dirac Delta Function))
- 三、阶跃函数与冲激函数的联系
- 四、在信号与系统中的重要性
- 五、物理意义与工程应用
前言
本文仅仅简单介绍了阶跃函数、冲激函数的定义、性质以及使用场景。
一、阶跃函数(Unit Step Function)
1.定义
阶跃函数(通常表示为 𝑢(𝑡) 或 𝐻(𝑡)是一个分段常数函数 ,用于描述信号在某一时刻的突变。
2.数学定义

在 𝑡=0处,某些定义可能取 𝑢(0)=0.5,但工程中通常简化为 0或 1。
3.性质
时移性质

与其他信号的乘积

积分与微分

4.应用场景
系统测试
系统测试:作为输入信号(阶跃响应) ,分析系统的稳态和瞬态特性。
信号建模
信号建模:描述信号的开关行为(如电路中的电源接通)。
构建复杂信号
构造复杂信号:如矩形脉冲 𝑢(𝑡)−𝑢(𝑡−𝑇)
二、冲激函数(Dirac Delta Function)
1.定义
冲激函数 𝛿(𝑡)是一种广义函数

其物理意义为瞬时作用(如瞬时力、电流脉冲) ,数学上可通过矩形脉冲的极限定义 :
2.性质
抽样性质

缩放性质

与阶跃函数的关系

偶函数性

3.应用场景
系统分析
系统分析:冲激响应 ℎ(𝑡)是线性时不变系统的核心特性 ,通过卷积可得任意输入响应。
信号采样
信号采样:理想采样模型
微分方程求解
微分方程求解:表示瞬时激励 (如电路中的电容初始电压突变)。
三、阶跃函数与冲激函数的联系
1.微分与积分关系
- 阶跃函数的导数是冲激函数
- 冲激函数的积分是阶跃函数
2.系统响应关联
阶跃响应 𝑠(𝑡)的导数为冲激响应 ℎ(𝑡),即 ℎ(𝑡)=𝑑𝑠(𝑡)/𝑑𝑡。
四、在信号与系统中的重要性
1.信号表示
信号表示:用于构建复杂信号 (如分段信号、周期信号)。
2.系统特征提取
系统特性提取:冲激响应完全表征线性时不变系统。
3.频域分析
频域分析:冲激函数的傅里叶变换为全频带 (𝐹{𝛿(𝑡)}=1),阶跃函数则含奇异分量(需结合符号函数)。
五、物理意义与工程应用
1.电路分析
电路分析:阶跃函数模拟电源开关 ,冲激函数描述电容瞬间充电。
2.力学系统
力学系统:冲激函数表示瞬时冲击力 ,阶跃函数表示恒力加载。
3.通信系统
通信系统:冲激函数用于理想采样 ,阶跃函数定义调制信号的起始。