关于手眼标定的数学模型及标定流程

手眼标定介绍

在手眼标定中,AX=XB和AX=YB是两种常见的数学模型,用于描述相机和机械臂之间的关系。

手眼标定中的两种情况:眼在手上(Eye-in-Hand)和眼在手外(Eye-to-Hand)

  • 求解略有不同,但基本原理相似。

眼在手外(Eye-to-Hand)

H cam base H_{\text{cam}}^{\text{base}} Hcambase= H tool base H_{\text{tool}}^{\text{base}} Htoolbase* H cal tool H_{\text{cal}}^{\text{tool}} Hcaltool* H cam cal H_{\text{cam}}^{\text{cal}} Hcamcal

在这种配置中,相机固定在工作空间的某个位置,观察整个机械臂的运动。此时,变换矩阵X表示相机相对于机械臂基座的固定变换。

这时候,我们让机械臂两个位置,保证这两个位置都能使得camera看到标定板

假设A= H tool base H_{\text{tool}}^{\text{base}} Htoolbase,B= H cal tool H_{\text{cal}}^{\text{tool}} Hcaltool, C= H cam cal H_{\text{cam}}^{\text{cal}} Hcamcal

那么两个位置的等式如下:

A 1 A_{\text{1}} A1 * B B B * C 1 C_{\text{1}} C1 = A 2 A_{\text{2}} A2 * B B B * C 2 C_{\text{2}} C2

等式转换

A 2 -1 A_{\text{2}}^{\text{-1}} A2-1 * A 1 A_{\text{1}} A1 * B B B = B B B * C 2 C_{\text{2}} C2 * C 2 -1 C_{\text{2}}^{\text{-1}} C2-1

此时就能获得关于AX=XB问题:

AXXB 模型
  • A:表示机械臂在两个不同位置之间的变换矩阵。
  • X:表示相机相对于机械臂末端的固定变换矩阵(手眼变换矩阵)。
  • B:表示标定板在两个不同位置之间的变换矩阵。

这个模型的目标是同时求解变换矩阵X和Y,使得在不同位置下的变换关系成立。

眼在手上(Eye-in-Hand)

公式如下

H tool cam H_{\text{tool}}^{\text{cam}} Htoolcam= H tool base H_{\text{tool}}^{\text{base}} Htoolbase* H base cal H_{\text{base}}^{\text{cal}} Hbasecal* H cal cam H_{\text{cal}}^{\text{cam}} Hcalcam

在这种配置中,相机安装在机械臂的末端执行器上。此时,变换矩阵X表示相机相对于机械臂末端的固定变换。

这时候,我们让机械臂两个位置,保证这两个位置都能使得camera看到标定板

假设A= H tool base H_{\text{tool}}^{\text{base}} Htoolbase,B= H base cal H_{\text{base}}^{\text{cal}} Hbasecal, C= H cal cam H_{\text{cal}}^{\text{cam}} Hcalcam

那么两个位置的等式如下:

A 1 A_{\text{1}} A1 * B B B * C 1 C_{\text{1}} C1 = A 2 A_{\text{2}} A2 * B B B * C 2 C_{\text{2}} C2

等式转换

A 2 -1 A_{\text{2}}^{\text{-1}} A2-1 * A 1 A_{\text{1}} A1 * B B B = B B B * C 2 C_{\text{2}} C2 * C 2 -1 C_{\text{2}}^{\text{-1}} C2-1

此时又能获得关于AX=XB问题:

AX=XB 模型
  • A:表示机械臂在两个不同位置之间的变换矩阵。
  • X:表示相机相对于机械臂末端的固定变换矩阵(手眼变换矩阵)。
  • B:表示相机在两个不同位置之间的变换矩阵。

这个模型的目标是求解变换矩阵X,使得在不同位置下的变换关系成立。

AX = XB问题的求解

  • Y. Shiu, S. Ahmad Calibration of Wrist-Mounted Robotic Sensors by Solving Homogeneous Transform Equations of the Form AX = XB. In IEEE Transactions on Robotics and Automation, 5(1):16-29, 1989.
  • R. Tsai, R. Lenz A New Technique for Fully Autonomous and Efficient 3D Robotics Hand/Eye Calibration. In IEEE Transactions on Robotics and Automation, 5(3):345-358, 1989.
    5
  • Horaud, Radu, and Fadi Dornaika. "Hand-eye calibration." The international journal of robotics research 14.3 (1995): 195-210.
  • Daniilidis, Konstantinos. "Hand-eye calibration using dual quaternions." The International Journal of Robotics Research 18.3 (1999): 286-298.

基本 OpenCV 或者 Matlab 都是采用了张老师的方法:

  • Zhang, Zhengyou. "A flexible new technique for camera calibration." IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence 22.11 (2000): 1330-1334.
AX=YB 模型

此外,还有AX=YB模型,这种情况会通过迭代优化的方式来求解。

这个模型表示不同位置下,机器人末端执行器和相机之间的变换关系:

  • A:表示机器人末端执行器的变换矩阵。
  • X:表示相机坐标系到机器人末端执行器坐标系的变换矩阵(手眼变换矩阵)。
  • Y:表示相机坐标系到机器人基座坐标系的变换矩阵。
  • B:表示相机的变换矩阵。

通过求解这个方程,可以得到 X 和 Y 矩阵,从而确定相机相对于机器人末端执行器和机器人基座的变换关系。

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