十一 矩阵空间，秩1矩阵，小世界图
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- [1. 矩阵空间](#1. 矩阵空间)
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- [交集 和 和集](#交集 和 和集)
- [2. 所有解空间](#2. 所有解空间)
- [3. r = 1 r=1 r=1的矩阵](#3. r = 1 r=1 r=1的矩阵)
- [4. 题目](#4. 题目)
- [5. 小世界图](#5. 小世界图)
空间：组成空间的元素的线性组合都在这个空间中。
1. 矩阵空间
举例：矩阵空间（ M M M 所有3x3的矩阵）
M 3 ∗ 3 M_{3*3} M3∗3的基
1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \newline \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \newline \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} 100000000 , 000100000 , 000000100 010000000 , 000010000 , 000000010 001000000 , 000001000 , 000000001
维度为9。
对称矩阵( S S S)的基，维度为6
1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 0 0 1 0 1 0 \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \newline \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{bmatrix} 100000000 , 000010000 , 000000001 010100000 , 001000100 , 000001010
上三角矩阵( U U U)的基，维度为6
1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \newline \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} 100000000 , 000100000 , 000000100 000010000 , 000000010 , 000000001
交集 和 和集
交集： S ∩ U = 对角矩阵，维度是 3 S\cap U = 对角矩阵，维度是3 S∩U=对角矩阵，维度是3
和集： S + U = M , d i m ( S + U ) = 9 S + U = M, dim(S+U) = 9 S+U=M,dim(S+U)=9
d i m ( S + U ) + d i m ( S ∩ U ) = d i m ( S ) + d i m ( U ) dim(S+U) + dim(S \cap U) = dim(S) + dim(U) dim(S+U)+dim(S∩U)=dim(S)+dim(U)
2. 所有解空间
对于 d 2 y d x 2 + t = 0 , y = c o s x , s i n x ⏟ 解基 \dfrac{d^2y}{dx^2}+t =0, y=\underbrace{cosx,sinx}_{解基} dx2d2y+t=0,y=解基 cosx,sinx
解空间 y = c 1 c o s x + c 2 s i n x y=c_1cosx+c_2sinx y=c1cosx+c2sinx
3. r = 1 r=1 r=1的矩阵
1 4 5 2 8 10 \] ⏟ A 2 ∗ 3 = \[ 1 2 \] \[ 1 4 5 \] \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&4\&5\\\\ 2\&8\&10 \\end{bmatrix}}_{A_{2\*3}} = \\begin{bmatrix} 1\\\\ 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1\&4\&5 \\end{bmatrix} A2∗3 \[1248510\]=\[12\]\[145
所有 r = 1 r=1 r=1的矩阵，可以拆成 A = u v T A=uv^T A=uvT
4. 题目
在 R 4 R^4 R4中， V = v 1 v 2 v 3 v 4 V=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{bmatrix} V= v1v2v3v4 ， S = 所有 V 在 R 4 中，满足 v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0 。 S 能否构成子空间呢？ S=所有V在R^4中，满足v_1+v_2+v_3+v_4=0。S能否构成子空间呢？ S=所有V在R4中，满足v1+v2+v3+v4=0。S能否构成子空间呢？
能。相当于 A V = 0 ， S = N ( A ) AV=0，S=N(A) AV=0，S=N(A)
1 1 1 1 ⏟ A v 1 v 2 v 3 v 4 ⏟ V = 0 \underbrace{\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ \end{bmatrix}}{A} \underbrace{\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{bmatrix}}{V}=0 A 1111V v1v2v3v4 =0
A矩阵的秩为1， d i m ( N ( A ) ) = n − r = 4 − 1 = 3 dim(N(A)) = n -r = 4 - 1 = 3 dim(N(A))=n−r=4−1=3
S的基为（等价于求AV=0的解空间）
− 1 1 0 0 , − 1 0 1 0 , − 1 0 0 1 \begin{bmatrix} -1\\1\\0\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{bmatrix} −1100 , −1010 , −1001
5. 小世界图
图的定义 g r a p h = { n o d e s , e d g e s } graph=\{nodes, edges\} graph={nodes,edges}
