manim边学边做--线性变换的场景类

在数学可视化领域，Manim的LinearTransformationScene类为线性代数教学提供了强大的工具。

这个专门设计的场景类继承自VectorScene，通过内置的变换动画和坐标系管理，能够直观展示线性变换的几何意义。

其核心功能包括：

自动管理坐标系和基向量的变换
支持矩阵变换、逆变换、转置变换等多种变换类型
自动保留变换痕迹
集成向量和单位正方形的动态展示

1. LinearTransformationScene概要

线性变换是线性代数中的核心概念之一，它描述了如何通过矩阵将一个向量空间映射到另一个向量空间。

在实际教学和研究中，理解线性变换的几何意义往往比单纯计算矩阵乘法更具挑战性。

LinearTransformationScene正是为了帮助学习者更好地理解线性变换的几何本质而设计的。

它提供了许多参数和方法，用于定制和控制线性变换动画的行为。

1.1. 主要参数

LinearTransformationScene的主要参数有：

参数名称	类型	说明
include_background_plane	bool	是否在场景中包含背景平面。背景平面是一个坐标网格，用于帮助观察线性变换对整个空间的影响。
include_foreground_plane	bool	是否包含前景平面。前景平面通常用于突出显示某些特定的几何对象，如向量或图形。
show_coordinates	bool	是否显示背景平面的坐标轴。
show_basis_vectors	bool	是否显示基向量
leave_ghost_vectors	bool	是否在变换后保留基向量的原始位置。这对于观察变换的动态过程非常有用。
i_hat_color	Color	基向量`i_hat`的颜色（默认绿色）
j_hat_color	Color	基向量`j_hat`的颜色（默认红色）

1.2. 主要方法

LinearTransformationScene的主要方法有：

名称	说明
apply_matrix	应用一个矩阵变换到整个场景中。
apply_inverse	应用矩阵的逆变换。
apply_nonlinear_transformation	应用非线性变换。
add_vector	添加一个向量到场景中，并将其加入可移动向量列表。
add_unit_square	添加一个单位正方形到场景中。
write_vector_coordinates	显示向量的坐标矩阵。

2. 使用示例

为了更好地理解LinearTransformationScene的强大功能，下面通过示例展示其在不同场景下的应用。

2.1. 矩阵变换

在这个示例中，我们展示了如何通过矩阵[[2, 1], [0, 1]]对整个坐标系进行变换。

show_coordinates=True和leave_ghost_vectors=True参数使得变换过程更加直观。

python 复制代码

# 在__init__函数中
# 设置LinearTransformationScene的参数
def __init__(self, **kwargs):
    super().__init__(
        show_coordinates=True,
        leave_ghost_vectors=True,
        **kwargs,
    )

matrix = [[2, 1], [0, 1]]
self.apply_matrix(matrix)

2.2. 向量的变换

此示例中，我们添加了一个黄色的向量[2, 1]，并应用了一个矩阵变换。

通过观察向量在变换前后的变化，可以更直观地理解线性变换对向量的影响。

python 复制代码

vector = Arrow(ORIGIN, [2, 1, 0], color=YELLOW)
self.add_vector(vector)
self.apply_matrix([[1, -1], [1, 1]])

2.3. 单位正方形的变换

此示例中，我们添加了一个单位正方形，并对其应用了一个矩阵变换。

通过观察单位正方形在变换下的变化，可以直观地理解线性变换对面积和形状的影响。

python 复制代码

self.add_unit_square(animate=True)
self.apply_matrix([[1, -1], [1, 1]])

这个示例在ManimCE v0.19.0版本运行有点问题，源码中似乎少引用了两个类，

对源码文件（manim\scene\vector_space_scene.py）做如下修改。

python 复制代码

# ... ...

# 这里加上 DrawBorderThenFill 
from ..animation.creation import Create, Write, DrawBorderThenFill

# ... ...

# 这里加上 Group 
from ..mobject.mobject import Mobject, Group

3. 附件

文中的代码只是关键部分的截取，完整的代码共享在网盘中（linear.py），

下载地址: 完整代码 (访问密码: 6872)