洛谷 P1115 最大子段和（前缀和详解）c++

1.题目分析

2.算法原理

解法：利用前缀和

思考：如何求出以a $i$ 为结尾的所有子区间中最大的子段和

假设 i 等于5，以 a $i$ 为结尾的区间一共是五段（黑色线条部分），在这5段中找出最大的子段和，或者针对 i = 4 也能找到最大的子段和，i 等于1，2，3都能找到最大的子段和的话，在这所有情况里面取一个max就是最终结果了

先解决眼前的问题，如何找出以 a $i$ 为结尾的最大子段和，只要能找到这一个，所有位置的最大子段和都能找出来，在所有情况下取一个最大值就可以了，当我想求黑色部分的时候，是拿所有区间的和减去红色部分，正好是 f $i$ （前缀和）- f $x$ （前面某一个区间的和），1 <= x <= i - 1，所以如何找出以 a $i$ 为结尾的最大子段和，就是在找这个公式中所有计算的最大值，f $i$ 是个定值，表示从1到 i 区间的和，f $x$ 是变化的，如果想要减式的结果最大，那就要让减数最小就可以了，让整段区间的和，减去前面区间里最小的区间和，此时找到的就是最大的区间和

用 f $i$ 减去 $1, i - 1$ 中所有前缀和的最小值即可，假设现在 i 是 5，用1到 i 的区间和减去计算的前缀和中最小的值，就是以 i 为结尾的最大区间和了，再把下标6的位置求出来，7的位置求出来，在所有情况里面取一个最大值就可以了

如何快速找出 $1, i - 1$ 中所有前缀和的最小值，一边计算 f $i$ 的时候，一边更新前缀最小值，prevmin表示前缀最小值，假设计算下标5的前缀和的时候，prevmin表示1-4区间的前缀和最小值，计算完 f $i$ 的时候，prevmin和 f $i$ 取一个min，同时在赋值给prevmin，就可以在往后递推的过程中，计算 f $i$ 的时候，prevmin里面就存着1-5区间里面前缀和的最小值，当计算下一个位置的前缀和的时候，prevmin记录着前面区间里面所有前缀和的最小值，计算完当前位置的时候，再对prevmin与当前位置的 f $i$ 取个最小值就可以了，所以我们就可以在从前往后循环的过程中，搞一个变量计录一下前缀和的最小值就ok了

代码：

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
int n;
LL f[N]; // 前缀和数组

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        LL x; cin >> x;
        f[i] = f[i - 1] + x;
    }

    LL ret = -1e20;
    LL prevmin = 0;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ret = max(ret, f[i] - prevmin);
        prevmin = min(prevmin, f[i]);
    }

    cout << ret << endl;

    return 0;
}