Python 阶段一综合案例之质数判断算法

通过前面的学习，本章将会通过一个综合案例进行巩固

一、质数判断算法

1. 质数定义

大于1的自然数
只能被1和自身整除
最小质数是2

2. 基础实现

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def is_prime_basic(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            return False
    return True
# 测试
print(is_prime_basic(17))  # True
print(is_prime_basic(9))   # False

3. 优化实现（平方根法）

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import math
def is_prime_optimized(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
        
    max_divisor = math.isqrt(n) + 1
    for i in range(3, max_divisor, 2):
        if n % i == 0:
            return False
    return True
# 性能对比
%timeit is_prime_basic(1000003)     # 约 58 ms
%timeit is_prime_optimized(1000003) # 约 0.03 ms

二、算法流程图解

是否是否是否是否开始 n <= 1? 返回False n是2? 返回True 能被2整除? 返回False 计算平方根遍历3到平方根奇数发现因数? 返回False 返回True

三、常见错误分析

1. 边界处理错误

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# 错误：未处理1和2的情况
def wrong_prime(n):
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            return False
    return True  # 当n=2时会错误返回False

2. 循环范围错误

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# 错误：range参数不正确
def wrong_range(n):
    max_div = math.sqrt(n)  # 应使用isqrt
    for i in range(3, max_div):  # 未+1可能漏检

四、扩展应用场景

1. 区间质数筛选

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def find_primes(start, end):
    return [n for n in range(start, end+1) if is_prime_optimized(n)]

print(find_primes(10, 50)) 
# [11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47]

2. 质因数分解

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def prime_factors(n):
    factors = []
    while n % 2 == 0:
        factors.append(2)
        n //= 2
    i = 3
    while i*i <= n:
        while n % i == 0:
            factors.append(i)
            n //= i
        i += 2
    if n > 2:
        factors.append(n)
    return factors

print(prime_factors(84))  # [2, 2, 3, 7]

五、综合练习

1. 双质数验证

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def is_twin_prime(n):
    return is_prime(n) and (is_prime(n+2) or is_prime(n-2))

print(is_twin_prime(17))  # True (17与19)

2. 回文质数检测

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def is_palindrome_prime(n):
    return str(n) == str(n)[::-1] and is_prime(n)

print(is_palindrome_prime(131))  # True

六、总结提升

掌握逻辑运算符的短路特性可提升代码效率
算法优化思路：
- 减少不必要的计算（如排除偶数）
- 缩小检查范围（平方根上限）
实际应用时建议：
- 预处理小质数列表
- 使用Miller-Rabin算法处理大数

最后通过本教程，您已具备实现基础算法的能力。下一步可尝试：

实现埃拉托斯特尼筛法
开发质数生成器类
研究RSA加密算法中的质数应用