算法复习——排列|组合|指数枚举

小赖同学吖2025-03-21 15:06

递归实现指数型枚举

从 1 到 n这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选法，一共有多少种选择方式？

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=20;

int a[N];
bool st[N];
int ans;
int n;

void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(st[i]) cout<<i<<" ";
        cout<<endl;
        ans++;
        return ;
    }
    st[x]=true;
    dfs(x+1);
    st[x]=false;
    
    st[x]=false;
    dfs(x+1);
    st[x]=true;
}

int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    cout<<"一共有"<<ans<<"种组合方式"<<endl;
    
    return 0;
}

总结：每一个数，有选和不选，两种可能，所以一共有2^{n种选法，即组合方式有2}n种

递归实现排列型枚举

从1~n选n个数，排列后按顺序打乱，一共有多少种排列方法，怎么排列的？

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=10;

bool st[N];
int a[N];

int n;

void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            a[x]=i;
            st[i]=true;
            dfs(x+1);
            st[i]=false;
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}

总结：使用布尔数组标记，是否被访问过，被访问过，就找另外的；一共有n！种组合方式，n个中选n个。

递归实现组合型枚举

从 1∼𝑛 这 n 个整数中随机选出 m 个，输出所有可能的选择方案;一共有多少个方案？

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=30;

int n,m;
bool st[N];

void dfs(int start,int x)//从那个数开始选，选择了多少个数了
{
    if(x>m)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(st[i]) cout<<i<<" ";
        cout<<endl;
        return ;
    }
    for(int i=start;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            st[i]=true;
            dfs(i+1,x+1);
            st[i]=false;
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    dfs(1,1);
    return 0;
}

总结：我们需要记录从谁开始选，然后选它后面的m个，选过的就不选了，没有选的话就选它。如果可以选够m个就输出。

通过公式可以计算方案数