利用相平面与相轨迹分析Logistic人口繁殖模型，它的微分方程为
d P ( t ) d t = r P ( t ) ( 1 − P ( t ) K ) ( 3.3.2 ) \frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t} = rP(t)\left(1 - \frac{P(t)}{K}\right) \quad (3.3.2) dtdP(t)=rP(t)(1−KP(t))(3.3.2)
其中， P ( t ) P(t) P(t)是人口数， r r r是人口的自然增长率（ r > 0 r > 0 r>0）， K K K是环境承载力。
解 ：式(3.3.2)可以写成
d P ( t ) d t = r P ( t ) − r K P 2 ( t ) ( 3.3.3 ) \frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t} = rP(t) - \frac{r}{K}P^{2}(t) \quad (3.3.3) dtdP(t)=rP(t)−KrP2(t)(3.3.3)
因为式(3.3.3)存在 P 2 ( t ) P^{2}(t) P2(t)项，所以它是一个非线性的系统，求解微分方程相较于线性系统会更加困难，使用相平面可以简化分析并直观地理解系统的特征。首先来寻找系统的平衡点，令 d P ( t ) d t = 0 \frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t} = 0 dtdP(t)=0，可得
0 = r P ( t ) − r K P 2 ( t ) ⇒ { P f 1 = 0 P f 2 = K ( 3.3.4 ) \begin{align*} 0 &= rP(t) - \frac{r}{K}P^{2}(t) \\ \Rightarrow \begin{cases} P_{f1} &= 0 \\ P_{f2} &= K \end{cases} \quad (3.3.4) \end{align*} 0⇒{Pf1Pf2=0=K(3.3.4)=rP(t)−KrP2(t)
上面两个平衡点的位置很容易通过物理意义来理解。首先， P f 1 = 0 P_{f1} = 0 Pf1=0说明这个是无人区，人口自然不会凭空产生出来。而当 P f 2 = K P_{f2} = K Pf2=K时，说明人口数达到了环境的承载力，将在此位置
保持平衡。将式(3.3.3)分成两部分，即 r P ( t ) rP(t) rP(t) 和 r K P 2 ( t ) \frac{r}{K}P^{2}(t) KrP2(t)，并把这两条曲线在相平面中绘制出来，如图 3.3.2 所示，系统的平衡点位于两条曲线交叉位置（ r P ( t ) = r K P 2 ( t ) rP(t)=\frac{r}{K}P^{2}(t) rP(t)=KrP2(t)）。负数对于人口数量没有意义，所以图中只包含了正数部分。横轴为人口数 P ( t ) P(t) P(t)，纵轴为人口变化率 d P ( t ) d t \frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t} dtdP(t)。
图 3.3.2 例 3.3.1 相轨迹分析
首先分析平衡点 P f 1 = 0 P_{f1} = 0 Pf1=0。如图 3.3.2 所示，当有少量人口迁移到此地时（此时假设初始状态为 P ( 0 ) = P 1 P(0)=P_1 P(0)=P1），此时的人口变化 d P ( t ) d t ∣ P ( t ) = P 1 = r P 1 − r K P 1 2 > 0 \left.\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}\right|{P(t)=P_1}=rP_1 - \frac{r}{K}P_1^{2}>0 dtdP(t) P(t)=P1=rP1−KrP12>0，因此随着时间的增加，人口将正增长， P ( t ) P(t) P(t) 将沿着正方向轨迹移动并将远离平衡点 P f 1 P{f1} Pf1，所以 P f 1 P_{f1} Pf1 是一个不稳定平衡点。这说明一个地方一旦开始出现生命，就会生生不息。
同时可以发现，随着 P ( t ) P(t) P(t) 不断向正方向移动， r P ( t ) rP(t) rP(t) 与 r K P 2 ( t ) \frac{r}{K}P^{2}(t) KrP2(t) 之间的差距会越来越大，直到 P ( t ) = K 2 P(t)=\frac{K}{2} P(t)=2K 时它们达到最大的差值。这说明当人口数 P ( t ) < K 2 P(t)<\frac{K}{2} P(t)<2K 时，人口的增长率在不断地升高，人口加速增长。
而当 P ( t ) > K 2 P(t)>\frac{K}{2} P(t)>2K 以后，增长速度就会减缓，直到达 到环境的承载力，即另一个平衡点 P f 2 = K P_{f2} = K Pf2=K 时为止。
考虑另一种情况，如果突然间有大量的人口涌入这个地方（此时初始状态为 P ( 0 ) = P 2 P(0)=P_2 P(0)=P2），从图 3.3.2 中可以发现，此时 r P 2 < r K P 2 2 rP_2<\frac{r}{K}P_2^{2} rP2<KrP22，所以变化率 d P ( t ) d t ∣ P ( t ) = P 2 = r P 2 − r K P 2 2 < 0 \left.\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}\right|_{P(t)=P_2}=rP_2 - \frac{r}{K}P_2^{2}<0 dtdP(t) P(t)=P2=rP2−KrP22<0，人口将负增长（ P ( t ) P(t) P(t) 将沿着负方向移动）。
同时可以发现，初始状态下涌入的人越多，负增长的速率就越快，随着人口的下降，负增长的速率也会下降，直到达 到环境的承载力，即平衡点 P f 2 = K P_{f2} = K Pf2=K 为止。所以 P f 2 P_{f2} Pf2 是一个稳定的平衡点。
图 3.3.3 显示了从 P 1 P_1 P1 和 P 2 P_2 P2 开始时人口随时间的变化。它呈现出了与上面分析一致的结果。当初始位置从 P 1 P_1 P1 开始时，人口的增速会越来越快，直到 K 2 \frac{K}{2} 2K 后增速开始下降，并达到承载力。而一旦人口超过承载能力 K K K 以后，将会迅速负增长以达到平衡点。
如图 3.3.3 所示，在此模型条件下，人口从 P 1 P_1 P1 增长到 K K K 的速度要远远慢于人口从 P 2 P_2 P2 下降到 K K K 的速度。这是因为一个人从出生到成熟需要十几年的时间，繁衍一代人则需要二三十年的周期。然而，一场战争、一场瘟疫或一场自然灾害却可以在短时间内毁灭大量的人口，甚至造成深远的断代影响。人类是世界上最伟大的物种，自从诞生在这个地球以来就开始了自然的征服之旅，仅仅用了很短的时间就站到了食物链的顶端，从此不断地繁衍、进化，变得文明。与此同时，人类的生存环境也在被自身的活动不断地改变着。上述人口模型比较简单且参数较少，它并没有考虑到人口的年龄结构、迁徙、疾病、科技发展，或是政策因素的影响。但即便如此，这个简单的数学模型仍然揭示了人类活动和环境承载力之间的关系，并阐述了一个重要的道理：在发展的同时需要对自然法则存一份敬畏之心。尊重自然，尊重科学，人类的文明才能够更加繁荣地发展下去。