算法索引
01背包
优化前
java
/**
* 0-1背包问题解法（与下方代码表格示例对应，已模拟验证）
* @param W 背包的总容量（示例：8）
* @param weights 物品的重量数组（示例：[2, 3, 4, 5]）
* @param values 物品的价值数组（示例：[3, 4, 5, 6]）
* @param n 物品的总数量（示例：4）
* @return 能够装入背包的最大价值
*/
public int[][] dp(int W, int[] weights, int[] values, int n){
// 创建动态规划表，dp[i][w]表示前i个物品在容量为w时的最大价值
int[][] dp = new int[n][W + 1];
for(int j = weights[0]; j <= W; j++){ //初始化背包，物品数量为1时，背包容量满足时，价格始终为第一个物品价值（3）
dp[0][j] = values[0];
}
for(int i = 1; i < n; i++){ //从第二个物品开始遍历
for(int j = 0; j <= W; j++){ //遍历每种背包容量
if(j >= weights[i]){ //当前遍历的物品可以放入背包，因为j（总背包容量）>= wt[i]（当前物品重量）
//选择放入或不放入物品，取价值的最大值
dp[i][j] = Math.max(
dp[i - 1][j], //不放入物品，所以(总背包价值)不变
dp[i - 1][j - weights[i]] + values[i] //放入物品，1（dp[i - 1][j - weights[i]]）.总背包容量减去wt[i]（即j - wt[i]）（当前物品重量），此时为剩余背包容量，再看剩余背包容量的"背包总价值"；（例如，剩余背包容量的"背包总价值"为0，则直接添加当前物品的价值val[i]，即下方代码示例表格的i=1，j=3（dp[1][3]）的情况，剩余背包容量的"背包总价值"为dp[0][0]，即剩余背包容量的"背包总价值"为0）2（+ values[i]）.增加第i个物品的价值val[i]（数组中即i）
);
}else{ //不可以放入背包
dp[i][j] = dp[i - 1][j]; //不放入，即保持"同一背包容量下，放入上一个物品时的背包总价值"不变（且第一个物品的数值均已手动初始化，实现数据调用闭环）
}
}
}
return dp[n - 1][W]; //返回最后一个汇总的
}空间优化版（使用一维数组）
java
/**
* 0-1背包问题解法（已验证）
* @param W 背包的总容量（示例：8）
* @param weights 物品的重量数组（示例：[2, 3, 4, 5]）
* @param values 物品的价值数组（示例：[3, 4, 5, 6]）
* @param n 物品的总数量（示例：4）
* @return 能够装入背包的最大价值
*/
public static int knapsackOptimized(int W, int[] weights, int[] values, int n) {
// 使用一维数组代替二维数组，优化空间复杂度
int[] dp = new int[W + 1];
// 初始化：容量为0时价值为0
dp[0] = 0;
// 动态规划过程
for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历每个物品
// 必须逆向遍历背包容量，防止重复计算
for (int j = W; j >= weights[i]; j--) {
// 更新dp[w]的值
dp[j] = Math.max(
dp[j], // 不选当前物品
dp[j - weights[i]] + values[i] // 选择当前物品
);
}
}
return dp[W]; // 返回最终结果
}优化后的模拟流程图
为何优化后，j不能使用正序遍历
java
/**
* 0-1背包问题解法（已验证）
* @param W 背包的总容量（示例：8）
* @param weights 物品的重量数组（示例：[2, 3, 4, 5]）
* @param values 物品的价值数组（示例：[3, 4, 5, 6]）
* @param n 物品的总数量（示例：4）
* @return 能够装入背包的最大价值
*/
public static int knapsackOptimized(int W, int[] weights, int[] values, int n) {
// 使用一维数组代替二维数组，优化空间复杂度
int[] dp = new int[W + 1];
// 初始化：容量为0时价值为0
dp[0] = 0;
// 动态规划过程
for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历每个物品
// 必须逆向遍历背包容量，防止重复计算
for (int j = 0; j >= weights[i]; j++) {
// 更新dp[w]的值
dp[j] = Math.max(
dp[j], // 不选当前物品
dp[j - weights[i]] + values[i] // 选择当前物品
);
}
}
return dp[W]; // 返回最终结果
}模拟流程图
代码对应实现案例
设定 w e i g h t s = [ 2 , 3 , 4 , 5 ] weights=[2,3,4,5] weights=[2,3,4,5]， v a l u e s = [ 3 , 4 , 5 , 6 ] values = [3,4,5,6] values=[3,4,5,6]
横轴： j j j（总背包容量）；纵轴： i i i（第 i i i个物品）； d p dp dp单元格：总背包价值
| i\j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 0 | 0 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 2 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 | 9 |
| 3 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 | 10 |