006贪心——算法备赛

跨步问题

跳跃游戏||

问题描述

给定一个长度为 n0 索引 整数数组 nums。初始位置为 nums[0]

每个元素 nums[i] 表示从索引 i 向后跳转的最大长度。换句话说,如果你在 nums[i] 处,你可以跳转到任意 nums[i + j] 处:

  • 0 <= j <= nums[i]
  • i + j < n

返回到达 nums[n - 1] 的最小跳跃次数。生成的测试用例可以到达 nums[n - 1]

原题链接

思路分析

nums[0]=x从起点0处出发走1步能到达[0,x]内的所有点,不必纠结具体要到那个点反正到不了x+1及以后的点,遍历[0,x]区间内的每个点i,用nums[i]+i来更新走第2步能到达的最远点next,等遍历到x点,第二步所能到达的点的范围就是[x+1,next],以此类推,直到遍历到终点。

具体实现上,定义cur表示走ans步所能到达的最远点,next表示下一阶段所能到达的最远点,从左到右依次遍历,等遍历到cur时,表示到达ans步所能到达的最远点,若还没到达终点,则ans++,cur更新为next,最后的ans就是答案。

以{2,4,3,12,0,5,1}为例:

代码

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int jump(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), ans = 0, cur = 0, next = 0;  //cur为走ans步能到达的最远处.
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {  //注意i截止到n-2.
            next = max(next, i + nums[i]);  //next为走ans+1步能到达的最远处.
            if (i == cur) cur = next, ans++; //到达ans步所能到达的最远处cur,后面还有节点,ans需要再+1,cur更新为next
        }
        return ans;
    }

总结:不用关系每一步走到哪的细节,到达ans所能到达的最远点后,贪心地选取下一阶段能到达的最远点next为阶段终点,步步为营。

达到数组末尾的最大得分

问题描述

给你一个长度为 n 的整数数组 nums

你的目标是从下标 0 出发,到达下标 n - 1 处。每次你只能移动到 更大 的下标处。

从下标 i 跳到下标 j 的得分为 (j - i) * nums[i]

请你返回你到达最后一个下标处能得到的 最大总得分

原题链接

思路分析

首先来分析一个子问题,1.从0下标处直接跳到n-1下标处,2.从0跳到中间某个下标i处再跳到n-1下标处,方案2的总得分比方案1大吗?

  1. nums[i]>nums[0] 则nums[0] * i + nums[i] * (n-1-i) > nums[0] * i+nums[0] (n-1-i)

    nums[0] * i + nums[i] * (n-1-i) > nums[0] * (n-1) 方案2总得分大

  2. nums[i]<=nums[0] 则nums[0] * i + nums[i] * (n-1-i) <= nums[0] * i+nums[0] (n-1-i)

    nums[0] * i + nums[i] * (n-1-i) >= nums[0] * (n-1) 方案2总得分没有更大

综上说明当中间有某个下标对应数组值大于nums[0]时,方案2的总得分才更大。

这也说明最佳方案是否要中转到i处,判断nums[i]是否大于上一阶段起点对应的nums值。

定义tar,初始时为nums[0]*(n-1),表示从0下标直接跳到n-1下标处的总得分

运用贪心思想,从下标1开始从左往右遍历,每次遍历到nums[i],判断nums[i]是否大于上一阶段的起点数组值,是说明中转i 处的方案获得的总得分比直接到终点获得的总得分要大;

此时便更新 上一阶段获得最大得分值目标历史最大值上一阶段起点数组值上一阶段起点下标值

直到遍历完n-2,此时的目标历史最大值 即为目标最大分数

代码

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long long findMaximumScore(vector<int>& nums) {
        long long n=nums.size();
        long long tar=(long long)nums[0]*(n-1);
        long long maxn=nums[0];  //上一阶段起点数组值
        long long mt=0;  //上一阶段起点下标值
        long long tr=0;  //上一阶段获得最大得分值
        for(int i=1;i<n-1;i++){
            if(nums[i]>maxn){
                tr+=(i-mt)*maxn;
                tar=tr+nums[i]*(n-i-1);
                maxn=nums[i];
                mt=i;
            }
        }
        return tar;
    }

区间交集问题

用最少数量的箭引爆气球

问题描述

有一些球形气球贴在一堵用 XY 平面表示的墙面上。墙面上的气球记录在整数数组 points ,其中points[i] = [xstart, xend] 表示水平直径在 xstartxend之间的气球。你不知道气球的确切 y 坐标。

一支弓箭可以沿着 x 轴从不同点 完全垂直 地射出。在坐标 x 处射出一支箭,若有一个气球的直径的开始和结束坐标为 startend, 且满足 start ≤ x ≤ end,则该气球会被 引爆 。可以射出的弓箭的数量 没有限制 。 弓箭一旦被射出之后,可以无限地前进。

给你一个数组 points返回引爆所有气球所必须射出的 最小 弓箭数

原题链接

思路分析

首先对数组升序排序,定义一个变量pos,表示当前箭射在的位置,第一箭射在第一个气球的右边界,定义一个变量ans表示最少箭数,数组不为空时初始为1;

往右遍历每个气球,每当有新的气球的左边界小于等于pos,说明该气球可和前面气球有重叠部分可以一箭射穿,否则说明没有重叠部分,重置pos为其右边界,箭数+1

代码

c 复制代码
int findMinArrowShots(vector<vector<int>>& points) {
        if (points.empty()) {
            return 0;
        }
        sort(points.begin(), points.end(), [](const vector<int>& u, const vector<int>& v) {
            return u[1] < v[1];  //以右边界为标准升序排序
        });
        int pos = points[0][1];
        int ans = 1;
        for (auto balloon: points) {
            if (balloon[0] > pos) {
                pos = balloon[1];
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }

无重叠区间

问题描述

给定一个区间的集合 intervals ,其中 intervals[i] = [starti, endi] 。返回 需要移除区间的最小数量,使剩余区间互不重叠

注意 只在一点上接触的区间是 不重叠的 。例如 [1, 2][2, 3] 是不重叠的。

思路分析

求移除区间的最少数目,相当于求保留区间的最多数目,参照上一题用最少数量的箭引爆气球,k个两两相交的区间只能保留一个,为使后续保留的互不重叠的区间最多,应保留右边界最小的那个,将数组按右区间大小升序排序,定义一个变量right,代表当前两两相交区间集合的右边界,从左往右遍历每个区间,每当有区间左边界小于right,则该区间可以舍弃,否则更新右边界为当前区间的右边界,并将保留区间统计量m+1。最后intervals.size() - m就是答案。

将区间数组按右区间大小升序排序,再从左往右遍历,保证了枚举的区间右边界逐渐增大,使每个独立的两两相交区间集合的右边界尽量小,让后面能容纳更多的独立区间,最后统计的m就是保留区间数量的最大值。

代码

c 复制代码
int eraseOverlapIntervals(vector<vector<int>>& intervals) {
        sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b) {
            return a[1] < b[1];
        });
        int m = 1;
        int right = intervals[0][1];
        for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) {
            if (intervals[i][0] >= right) {
                m++;
                right = intervals[i][1];
            }
        }

        return intervals.size() - m;
    }

构造连续值问题

构造的连续值的最大数目

问题描述

给你一个长度为 n 的整数数组 coins ,它代表你拥有的 n 个硬币。第 i 个硬币的值为 coins[i] 。如果你从这些硬币中选出一部分硬币,它们的和为 x ,那么称,你可以 构造x

请返回,你最多能 构造 出多少个从 0 开始(包括 0 )的连续整数。

你可能有多个相同值的硬币。

思路分析

设我们现在能构造出[0,x]区间的整数,现在我们新增一个整数 y,那么我们可以构造出的区间为[0,x][y,x+y],那么如果 y≤x+1,则加入整数 y 后我们能构造出 [0,x+y] 区间的整数,否则我们还是只能构造出连续的 [0,x] 区间的数字。

具体实现上,我们每次从数组中找到未选择数字中的最小值 来作为 y,因为如果此时的最小值 y 都不能更新区间 [0,x],那么剩下的其他更大元素肯定不能更新区间 [0,x]。那么我们初始从 x=0 开始,按照升序来遍历数组 nums 的元素来作为 y,如果 y≤x+1 那么我们扩充区间为 [0,x+y],否则我们无论选任何未选的数字都不能使答案区间变大,此时直接退出即可。

代码

c 复制代码
int getMaximumConsecutive(vector<int>& coins) {
        int res = 1;
        sort(coins.begin(), coins.end());
        for (auto& i : coins) {
            if (i > res) {
                break;
            }
            res += i;
        }
        return res;
    }
作者:灵茶山艾府

最少砝码

问题描述

你有架天平。现在你要设计一套砝码,使得利用这些砝码可以称出任意小于等于N的正整数重量。

那么这套砝码最少需要多少个砝码?

注意天平的两边都可以放砝码。

思路分析

本题与上一题相似,略有不同之处在于,本题用数字构造连续区间可以用减法(放在天平另一侧)。思路大体相同。

设我们现在能构造出[1,x]区间的所有整数,现在新增一个y,那能构造出的区间为[1,x],[y-x,y],[y,x+y]

如果y-x<=x+1y<=2x+1则加入整数 y 后我们能构造出 [1,x+y] 区间的所有整数,最优方案的y是2x+1

  • 1个砝码时,使用最优方案,用重量为1的砝码,能称出的最大的从1开始连续的最大重量是sum(1)=1
  • 2个砝码时,使用最优方案,添加一个重量为sum(1)*2+1=3的砝码,能称出最大的从1开始连续的最大重量是sum(2)=sum(1)+3
  • 依次类推,n个砝码,能称出符合要求的最大上界是sum(n-1)*2+1+sum(n-1)3*sum(n-1)+1

具体实现上,sum记录所能称出符合要求的最大上界,cnt记录砝码个数。每次添加一个砝码,并更新sum值,当sum>=n时的cnt就是答案。

c 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 1, cnt = 1; //sum存储可以表示区间的最大值
    while(sum<n){
      sum+=sum*2+1;  //也可写成sum=3*sum+1
      cnt++;
    }
    cout << cnt ;
    return 0;
}
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