26考研 | 王道 | 数据结构 | 第五章树

第五章树

5.1. 树的概念

5.1.1. 树的基本定义

树:n(n>=0)个节点的有限集合，是一种逻辑结构，当n=0时为空树，且非空树满足:

有且仅有一个特定的称为根的节点
当n>1时，其余结点可分为m (m >0) 个互不相交的有限集合，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根结点的子树

互不相交就是仅有一个前驱

树是一种递归的数据结构

非空树特点：

有且仅有一个根节点
没有后继的结点称为"叶子结点"（或终端节点）
有后继的结点称为"分支结点" (或非终端结点)
除了根节点外，任何一个结点都有且仅有一个前驱
每个结点可以有0个或多个后继

基本术语

祖先结点：从自己出发走到根结点的最短路这条路径上的所有节点都是祖先节点
子孙结点：自己的之下都是子孙节点
双亲结点 (父节点) ：和自己相连的上一个就是父节点
孩子结点：和自己相连的下面一个
兄弟结点：我自己同一个父节点的
堂兄弟结点：同一层的节点

路径：两个结点的间的路径只能从上往下

路径长度：从一个结点到另一个结点所经过了几条边

树的路径长度是指树根到每个节点的路径长的总和

属性:

叶子结点的度为0

节点的深度一般是从1开始的，但是有的教材会从0开始，都一样，该怎么算就怎么算就行

有序树和无序树

有序树--逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是有次序的，不能互换
无序树--逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是无次序的，可以互换

森林是m(>=0)棵互不相交的树的集合。

5.1.2. 树的常考性质

常见考点1: 树中的结点数=总度数+1
- 结点的度：节点有几个孩子
常见考点2:

度为m的树、m叉树的区别：

树的度--各结点的度的最大值；m叉树--每个结点最多只能有m个孩子的树
常见考点3 : 度为m的树第 i 层至多有个结点
常见考点4 : 高度为h的m叉树至多有个结点。
- 图中是q的n次方并非q*n
常见考点5:

高度为h的m叉树至少有h个结点；高度为h、度为m的树至少有h+m-1个结点。
常见考点6 : 具有n个结点的m叉树的最小高度为
- 第二行是m的h次方不是m*h

5.2. 二叉树

5.2.1. 二叉树的定义

二叉树是n (n>=0)个结点的有限集合:

或者为空二叉树，即n =0。
或者由一个根结点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。
左子树和右子树又分别是一棵二叉树。

特点：

每个结点至多只有两棵子树
左右子树不能颠倒 (二叉树是有序树)
二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树和空的右子树

5.2.2. 特殊二叉树

完全二叉树如果有一个节点只有一个孩子，那这个孩子只可能是左孩子不可能是右孩子

二叉排序树：

一棵二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树:

左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字
右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字
左子树和右子树又各是一棵二叉排序树

查找元素起来很方便，就直接是二分查找

平衡二叉树：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。

左边是平衡的，右边是不平衡的

这个是希望树往宽的生长而不是往深的生长

平衡二叉搜索树能有更高的搜索效率

5.2.3. 二叉树的性质

**常见考点1：**设非空二叉树中度为0、1和2的结点个数分别为、,和，则(叶子结点比两个分支结点多一个)

**常见考点2：**二叉树第层至多有个结点 (>=1)；m叉树第层至多有个结点 (>=1)

**常见考点3：**高度为h的二叉树至多有个结点(满二叉树)；高度为h的m叉树至多结点，把m=2带入即可

下面是完全二叉树的常考性质

常见考点1：

图中是第一个式子的推导过程

这是第二个式子的推导过程

**常见考点2：**对于完全二叉树，可以由总结点数 n 推出度为 0、1 和 2 的结点个数、、

推导过程：

因为：![n_{0} = n_{2}+1](https://latex.csdn.net/eq?n_{0} %3D n_{2}+1):所以![n_{0} + n_{2}](https://latex.csdn.net/eq?n_{0} + n_{2})为奇数

又因为：![n=n_{0} +n_{1}+n_{2}](https://latex.csdn.net/eq?n%3Dn_{0} +n_{1}+n_{2})

所以：若完全二叉树有偶数n个节点，则为1；为；为

若完全二叉树有奇数n个节点，则为0；为；为

5.2.4. 二叉树存储实现

二叉树的顺序存储：

基本只用来存储完全二叉树，对于非完全二叉树来说，存储密度太低了，浪费了很多的空间，所以非完全二叉树不用顺序存储

二叉树的顺序存储中，一定要把二叉树的结点编号与完全二叉树对应起来

几个重要常考的基本操作：

i 的左孩子：2i
i 的右孩子：2i+1
i 的父节点：i/2
i 所在的层次：或者

若完全二叉树中共有n个结点，则

判断i是否有左孩子? ![2i\leqslant n](https://latex.csdn.net/eq?2i\\leqslant n) ？
判断i是否有右孩子? ![2i+1\leqslant n](https://latex.csdn.net/eq?2i+1\\leqslant n) ？
判断i是否是叶子/分支结点? ?

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#define MaxSize 100
 
struct TreeNode{
   ElemType value; //结点中的数据元素
   bool isEmpty;   //结点是否为空
};
 
main(){
   TreeNode t[MaxSize];
   for (int i=0; i<MaxSize; i++){
      t[i].isEmpty = true;
   }
}

链式存储

重点：n个结点的二叉链表共有n+1个空链域

二叉树从无到有的过程：

（这样构建也太麻烦了，还是看看后面怎么递归建立吧）

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//二叉树的结点
 
struct ElemType{
   int value;
};
 
typedef struct BiTnode{
   ElemType data;          //数据域
   struct BiTNode *lchild, *rchild; //左、右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;
 
//定义一棵空树
BiTree root = NULL;
 
//插入根节点
root = (BiTree) malloc (sizeof(BiTNode));
root -> data = {1};
root -> lchild = NULL;
root -> rchild = NULL;
 
//插入新结点
BiTNode *p = (BiTree) malloc (sizeof(BiTNode));
p -> data = {2};
p -> lchild = NULL;
p -> rchild = NULL;
root -> lchild = p; //作为根节点的左孩子

二又树的顺序存储中，一定要把二叉树的结点编号与完全二叉树对应起来
最坏情况:高度为 h 且只有 h 个结点的单支树 (所有结点只有右孩子)，也至少需要 2^h-1个存储单元
结论:二叉树的顺序存储结构，只适合存储完全二叉树

5.3. 二叉树的遍历和线索二叉树

5.3.1. 二叉树的先中后序遍历

遍历：按照某种次序把所有结点都访问一遍
层次遍历：基于树的层次特性确定的次序规则

二又树的递归特性:

【1】要么是个空二叉树

【2】要么就是由"根节点+左子树+右子树"组成的二叉树

【二叉树的先中后遍历】

先序遍历:根左右(NLR)
144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）

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typedef struct BiTnode{
   ElemType data;          
   struct BiTNode *lchild, *rchild; 
}BiTNode, *BiTree;
 
void PreOrder(BiTree T){
   if(T!=NULL){
      visit(T);                 //访问根结点
      PreOrder(T->lchild);      //递归遍历左子树
      PreOrder(T->rchild);      //递归遍历右子树
   }
}

中序遍历:左根右 (LNR)
94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）

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typedef struct BiTnode{
   ElemType data;          
   struct BiTNode *lchild, *rchild; 
}BiTNode, *BiTree;
 
void InOrder(BiTree T){
   if(T!=NULL){
      InOrder(T->lchild);       //递归遍历左子树
      visit(T);                 //访问根结点
      InOrder(T->rchild);       //递归遍历右子树
   }
}

后序遍历:左右根(LRN)
145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）

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typedef struct BiTnode{
   ElemType data;          
   struct BiTNode *lchild, *rchild; 
}BiTNode, *BiTree;
 
void PostOrder(BiTree T){
   if(T!=NULL){
      PostOrder(T->lchild);       //递归遍历左子树    
      PostOrder(T->rchild);       //递归遍历右子树
      visit(T);                 //访问根结点
   }
}

5.3.2. 二叉树的层序遍历

102. 二叉树的层序遍历 - 力扣（LeetCode）

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
        vector<vector<int>> res;
        queue<TreeNode*> q;
        if(root==nullptr)
            return res;
        q.push(root);
        while(!q.empty())
        {
            int size=q.size();
            vector<int> v;
            for(int i=0;i<size;i++)
            {
                auto p=q.front();
                q.pop();
                v.push_back(p->val);
                if(p->left)
                    q.push(p->left);
                if(p->right)
                    q.push(p->right);
            }
            res.push_back(v);
        } 
        return res;
    }
};

算法思想:

1.初始化一个辅助队列
2.根结点入队
3.若队列非空，则队头结点出队，访问该结点，并将孩子插入队尾(如果有的话)
4.重复3直至队列为空

cobol 复制代码

//二叉树的结点(链式存储)
typedef struct BiTnode{
   ElemType data;          
   struct BiTNode *lchild, *rchild; 
}BiTNode, *BiTree;
 
//链式队列结点
typedef struct LinkNode{
   BiTNode * data;
   typedef LinkNode *next;
}LinkNode;
 
typedef struct{
   LinkNode *front, *rear;  
}LinkQueue;
 
//层序遍历
void LevelOrder(BiTree T){
   LinkQueue Q;
   InitQueue (Q);          //初始化辅助队列
   BiTree p;
   EnQueue(Q,T);           //将根节点入队
   while(!isEmpty(Q)){     //队列不空则循环
      DeQueue(Q,p);        //队头结点出队
      visit(p);            //访问出队结点
      if(p->lchild != NULL)
         EnQueue(Q,p->lchild);   //左孩子入队
      if(p->rchild != NULL)
         EnQueue(Q,p->rchild);   //右孩子入队
   }
}

这种写法会让在队列里面的节点并不是同一层的节点，所以笔者更推荐上面的写法，上面的写法做很多题也很方便

5.3.3. 由遍历序列构造二叉树

一个前序遍历序列可能对应多种二叉树形态。同理，一个后序遍历序列、一个中序遍历序列、一个层序遍历序列也可能对应多种二叉树形态。

即：若只给出一棵二叉树的前/中/后/层序遍历序列中的一种，不能唯一确定一棵二叉树。

由二叉树的遍历序列构造二叉树：

注：必须得有中序才可以，只有前序和后序不可以唯一确定一颗二叉树

原因：因为前后层序是确定根节点的，只有中序遍历才能够划分左右子树

前序+中序遍历序列

105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）

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第五章 树

5.1. 树的概念

5.1.1. 树的基本定义

5.1.2. 树的常考性质

5.2. 二叉树

5.2.1. 二叉树的定义

5.2.2. 特殊二叉树

5.2.3. 二叉树的性质

5.2.4. 二叉树存储实现

5.3. 二叉树的遍历和线索二叉树

5.3.1. 二叉树的先中后序遍历

5.3.2. 二叉树的层序遍历

5.3.3. 由遍历序列构造二叉树

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第五章树