有向⽆环图
若⼀个有向图中不存在回路，则称为有向⽆环图(directed acycline graph)，简称 DAG 图
AOV⽹
举⼀个现实中的例⼦：课程的学习是有优先次序的，如果规划不当会严重影响学习效果。课程间的先后次序可以⽤有向图表⽰
在这种有向图中，⽤顶点表⽰活动，⽤有向边< v i , v j v_{i}, v_{j} vi,vj>表⽰活动 v i v_{i} vi必须先于活动 v j v_{j} vj进⾏，这种有向图叫做顶点表⽰活动的⽹络(Activity On Vertex Network)，简称 AOV ⽹
AOV⽹中不能有回路，否则就不能确定回路中的活动究竟哪个先实施。因此⼀个可⾏的AOV⽹必须是有向⽆环图
拓扑排序
拓扑排序的⽬标是将有向⽆环图中的所有结点排序，使得排在前⾯的结点不能依赖于排在后⾯的结点。在课程问题中，相当于就是找到⼀个排课的合法顺序。具体流程可借助队列进⾏：
- 将图中所有⼊度为0的点，加⼊到队列中；
- 取出队头元素，删除与该点相连的边。如果删除之后的后继结点的⼊度变为0，加⼊到队列中；
- 重复2操作，直到图中没有点或者没有⼊度为0的点为⽌。
拓扑排序判断是否有环：
跑⼀遍拓扑排序算法，如果有结点没有进队，那么就表明有环
B3644 【模板】拓扑排序 / 家谱树 - 洛谷
c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
vector<int> edges[N];
int in[N];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int j;
while (cin >> j, j)
{
edges[i].push_back(j);
in[j]++;
}
}
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (in[i] == 0) q.push(i);
}
while (q.size())
{
int x = q.front(); q.pop();
cout << x << " ";
//删除对应的边
for (auto y : edges[x])
{
in[y]--;
if (in[y] == 0) q.push(y);
}
}
return 0;
}P2712 摄像头 - 洛谷
拓扑排序判断是否有环。
直接跑⼀遍拓扑排序，然后统计⼀下有多少摄像头没有出队。那么这些没有出队的摄像头就是环⾥⾯的元素。
注意：
- 有些位置可能没有摄像头，需要判断⼀下
c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
int n;
vector<int> edges[N];
int in[N];
bool st[N];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int x, m, y; cin >> x >> m;
st[x] = true;
while (m--)
{
cin >> y;
edges[x].push_back(y);
in[y]++;
}
}
queue<int> q;
//入度为0的点加入队列
for (int i = 0; i <= 500; i++)
{
if (st[i] && in[i] == 0) q.push(i);
}
while (q.size())
{
auto x = q.front(); q.pop();
for (auto y : edges[x])
{
in[y]--;
if (st[y] && in[y] == 0) q.push(y);
}
}
int ret = 0;
for (int i = 0; i <= 500; i++)
{
if (st[i] && in[i]) ret++;
}
if (ret == 0) cout << "YES" << endl;
else cout << ret << endl;
return 0;
}P4017 最大食物链计数 - 洛谷
拓扑排序的过程中，进⾏动态规划。
对于每⼀个节点i，通过它的路径为：前驱所有结点的路径总数之和。因此，可以在拓扑排序的过程中，维护从起点开始到达每⼀个节点的路径总数
c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5010, MOD = 80112002;
int n, m;
vector<int> edges[N];
int in[N], out[N];
int f[N];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int x, y; cin >> x >> y;
edges[x].push_back(y);
in[y]++, out[x]++;
}
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (in[i] == 0)
{
f[i] = 1;
q.push(i);
}
}
while (q.size())
{
auto x = q.front(); q.pop();
for (auto y : edges[x])
{
f[y] = (f[y] + f[x]) % MOD;
in[y]--;
if (in[y] == 0) q.push(y);
}
}
int ret = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (out[i] == 0)
{
ret = (ret + f[i]) % MOD;
}
}
cout << ret << endl;
return 0;
}P1113 杂务 - 洛谷
拓扑排序的过程中，进⾏动态规划。
对于每⼀个事件i，完成它的最⼩时间为：完成前驱所有事件的最⼩时间中的最⼤值+当前事件的完成时间。因此，可以在拓扑排序的过程中，维护每⼀个事件完成的最⼩时间，然后更新当前事件的最⼩时间
c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10010;
int n;
vector<int> edges[N];
int in[N], f[N];
int len[N];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int b,a;
cin >> b >> len[b];
while (cin >> a, a)
{
edges[a].push_back(b);
in[b]++;
}
}
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (in[i] == 0) q.push(i);
}
int ret = 0;
while (q.size())
{
int a = q.front(); q.pop();
f[a] += len[a];
ret = max(ret, f[a]);
for (auto b : edges[a])
{
f[b] = max(f[b], f[a]);
in[b]--;
if (in[b] == 0) q.push(b);
}
}
cout << ret << endl;
return 0;
}