游戏引擎学习第231天

设定当天的主题

我们现在到了一个很少出现在直播中的阶段，但今天是那种需要解释计算机科学基础概念的日子。因此，今天我们将讨论这个内容，今天的重点是"大O表示法"（Order Notation），我将用黑板来解释这些概念。

现在我们不再进行游戏开发，而是专注于讨论这一理论概念。如果你不知道"大O表示法"是什么，或者不确定自己是否关心这个问题，那么你现在来到的这个地方就是最合适的。通过这段时间的讲解，你会知道自己是否关心这个问题。

首先，我要提醒大家一个非常重要的前提，那就是，计算机科学的学术派别会非常关注这些内容，实际上，大O表示法只是理论计算机科学中的冰山一角。我要声明的是，我并不是一个理论计算机科学家，接下来我所讲的内容是为实际编程人员准备的。

我们将从一种实际的角度来讨论大O表示法------即那些在机器上运行代码并关注其性能的程序员。这不是计算机科学理论的全部，也不会深入到你如果真的对理论计算机科学感兴趣可能会追求的层次。

所以，如果你在观看过程中，突然觉得自己对这些内容感到好奇，并且对这一学科有兴趣，我鼓励你去进一步学习，比如通过阅读相关书籍或在线观看一些讲座。

这的确是一个非常有趣的领域，虽然它不一定会每天影响我们日常的工作，但它有时会有很大的影响。例如，我们当前代码中的一些问题就与这些理论有关。

但请注意，如果你对这一理论领域感兴趣，我想说今晚讲解的只是基础内容，并不代表这个领域的全貌。理论计算机科学中更丰富、更深刻的内容，超出了我的计算机科学背景，最适合由专业人士来深入讲解。

黑板：阶次表示法

现在我们来谈谈"大O表示法"。你们可能在这个直播中已经见过它，我们之前简单提到过，我也曾简要概述过它，但今天我想一次性彻底讲清楚，特别是我们现在讨论的是排序算法，它正是介绍这种表示法的经典场所。

你们可能已经见过"大O表示法"，通常它的形式是这样的：

首先它有一个大写的"O"，这不是零，是字母"O"，然后它后面跟着一个括号，括号里有一些东西。通常，里面会有一个"n"，但它也可以包含其他内容，常见的就是像这样写：

O(n)
O(n²)

这些就是你经常看到的"大O表示法"，当人们说"O(n)"或者"O(n²)"时，他们指的就是这种表示方式。

我们之前也提到过"大O表示法"，但我们并没有详细讨论过它。那么，这到底是什么？它到底意味着什么？为什么我们要关心它？

大O表示法试图描述一个算法随着工作量增加时的表现，尤其是它如何随着输入规模（通常是"n"）的增大而扩展。在这里，我们关注的是随着数据规模增大，算法的效率如何变化。

黑板："单位"

当我们谈论工作量时，通常是指某种单位，而这个单位通常由"n"来表示。举个例子，现在我们讨论排序算法。你需要排序的元素数量可能就是"n"代表的单位。因此，当我们说"n"时，通常是指需要排序的元素数量。

例如，如果给我一个包含10个元素的列表来排序，那么在大O表示法中，"n"就代表着10。

为什么我们要说"n"，而不是直接说10呢？原因在于，当我们讨论大O表示法时，目的是了解算法在不同工作负载下的表现。换句话说，我们并不关心一开始就知道有多少个工作单位，而是希望通过大O表示法了解算法在不同规模的工作量下会有怎样的表现。

因此，"n"代表的是一个通用的工作单位，它让我们可以推测算法在不同工作负载下的表现，而不必先确定具体的工作数量。大O表示法的目的，就是帮助我们了解算法如何随着工作量的增大而表现出来的性能变化。这是大O表示法中的核心思想，它让我们可以预见算法如何在不断增大的输入规模下表现得如何。

这种思维方式的根本就是帮助我们分析算法在各类输入规模下的表现，而不仅仅是基于一个固定数量的工作负载来评估算法的效率。

黑板：线性"缩放"，例如盖信封

如果从一个非计算机科学的角度来看，假设你是一个完全没有编程背景的人，可能会觉得"如何扩展"这个问题并不容易理解。因为在现实世界中，我们通常讨论的"规模"大多数情况下是线性的。线性意味着每次我让你做更多的工作，它就需要花费更多的时间。

举个例子，假设你需要在信封上盖邮票。如果给你盖一个邮票需要一分钟，那么你通常会期望，盖五个邮票会花费五分钟。这种线性的关系是我们人类在日常生活中非常习惯的，当然这并不总是成立，但这是一个帮助理解的出发点。

如果你想知道更复杂的情况，比如每个信封需要两分钟来盖邮票，那么五个信封就需要十分钟。在这种情况下，我们可以简单地用数学表达式来表示。我们可以说盖一个信封需要两分钟，那么总的时间就是"2分钟 × 信封数量n"，也就是"2n"分钟。

从数学的角度看，这就是线性的概念。这里的n是信封的数量，即工作单位的数量。因为每增加一个单位（一个信封），需要的时间也会增加相同的量。所以它是一个线性关系。当我们把这个关系画出来时，得到的就是一条直线。

总之，线性是指工作量增加时，所需的时间或资源也会等比增加，图像上呈现为一条直线，这就是为什么我们称之为线性的原因。在这种情况下，n的指数是1，意味着它的增长是直接和线性相关的。

黑板：非线性"缩放"，例如检查是否有信封被寄给同一个人

如果人类的工作只是在执行一些典型的任务，那么我们可能就不需要开发复杂的计算机算法，甚至可能根本不需要讨论像"阶乘表示法"这样的概念。因为计算机的出现，是为了处理那些人类无法高效完成或处理得更复杂的任务。如果计算机只做和人类一样简单的事，那么它的存在就没有太大意义。

然而，计算机常常需要处理比人类更复杂的任务。比如，我们可以考虑一个任务，要求在一堆信封中找出是否有两个信封的地址相同。这个任务听起来很简单，但即使是人类，在解决这个问题时也会面临一定的复杂性。

假设我们采取一种最直观的方法来解决这个问题：我们挑选一个信封，并与其他所有信封逐一进行比较，看看是否有地址匹配。如果找到了匹配，我们就告诉你。如果没有，我们就继续下一个信封，直到检查完所有信封。这个过程需要花费多少时间呢？

假设每次比较两个信封需要5秒钟，那么我们可以推算出每对信封的比较时间。首先，我们需要比较第一个信封与其他所有信封，总共有n个比较。接着，我们将第一个信封放到一边，检查第二个信封和剩余的所有信封，这时会有n-1个比较。以此类推，直到最后一个信封与自己比较。

从这个过程来看，比较的次数会逐渐减少，但总的比较次数会是一个累积的过程。总共的比较次数将是n + (n-1) + (n-2) + ...... + 1。这个加法的结果会等于n²（虽然实际的加法会有小的减法修正项，但对我们来说，n²是主要的量级）。

因此，这个任务的工作量将与n²成正比。这是一个典型的非线性增长。尽管可以通过减去一些常数项来精确计算，但从大体上看，这个工作的复杂度是n²的。

所以，如果每次比较需要5秒钟，那么对于n个信封的比较总时间大致为5n²秒。这就意味着在面对需要对多个信封进行匹配的任务时，无论是人类还是计算机，所需的工作量会随着信封数量的增加而显著增加。

这个例子说明了线性任务和非线性任务的区别，并且突出了计算机科学中常见的非线性算法如何影响任务的复杂度。

黑板：我们为什么关心线性

我们关心这个问题的原因是，随着任务规模的增加，不同类型的算法会表现出不同的性能增长方式。比如线性增长和平方增长之间就有很大的区别。

对于线性任务来说，增加工作量时，所需的时间会按比例增加。也就是说，如果原本需要10分钟完成5个任务，那么再多5个任务，就需要20分钟。这种增长方式是直接的，比例关系是恒定的，图形上看起来是一条直线，随着工作量增加，时间也按比例增加。

然而，对于n²这种平方增长的任务，它的时间复杂度随工作量的增加增长得非常快，表现为一个抛物线形状的图像。假设任务量从一个较小的数目增加，最初的时间增长可能并不明显，但随着任务量继续增加，所需的时间会变得非常陡峭。例如，原本可能需要1小时来完成任务，但如果任务量稍微增加，那么所需的时间可能会瞬间增加到2小时，增长幅度非常大。

这就意味着，平方增长的算法在任务量稍微增加时，所需的时间就会急剧上升，而线性增长的算法则不会有这种急剧的变化。在线性任务中，增加一定数量的任务所需的时间总是固定的，增加5个任务就意味着额外10分钟。而对于平方增长的任务，每增加一点任务量，时间的增加就会越来越多，这种变化非常明显。

这种情况下，平方增长的任务存在一个问题，即随着任务规模的增加，计算所需的时间可能会变得非常庞大，甚至在某个点上，增加一个额外的任务就会变得异常昂贵。这种超线性（即n²）的算法有一个"临界点"，一旦任务量达到这个点，计算的时间就会变得无法承受，甚至无法完成。这就是超线性算法的缺点，随着任务规模的增加，处理的难度会迅速超出可接受的范围，变得不可行。

黑板：这如何决定算法的可扩展性

我们之所以关心"阶数符号"（Order Notation，常用大写 O 表示），是因为它正好提供了一种方式，让我们可以清晰地描述算法在输入规模变大时所需的运行时间增长情况。通过这种方式，我们能从根本上理解一个算法在面对不同规模问题时的效率表现。

举个例子，当我们说一个算法是 O(n) ，我们指的是线性复杂度。也就是说，随着输入数量的增加，算法的运行时间会以线性的方式增长------加多少个任务，就花相应比例的时间。这类算法的扩展性很好，我们可以不断往里加任务，只要时间够，就能完成，计算资源不会突然出现瓶颈。

但如果我们说一个算法是 O(n²) ，那就是平方复杂度 ，属于超线性。这意味着，运行时间的增长不是线性的，而是呈抛物线式地上升。前期看起来可能还能接受，但一旦输入规模稍微大一点，运行时间就会急剧增加。例如，在起初处理几个任务时，每增加一点任务，时间增加也不多；但到了某个点，哪怕只多一个任务，运行时间都可能翻倍，甚至呈爆炸式增长。

这就是阶数符号的核心意义：我们希望用一个清晰简洁的方式，将算法的运行特性和输入规模之间的关系抽象出来，忽略那些细枝末节，比如常数系数、低阶项，只保留最关键的部分------算法的增长趋势。

所以，当我们用 O(n)、O(n²)、O(log n)、O(n log n) 这些形式来描述算法时，我们不是在说"精确的时间"，而是在说"随着输入规模扩大，时间会如何变化"。

这就让我们在面对复杂系统时，能够提前预估一个算法是否可行，是否能够应对未来的扩展需求。尤其在实际应用中，这种评估至关重要。一个看似运行还行的算法，可能在数据量稍微变大时就完全崩溃。我们无法通过硬件资源无限堆叠来解决问题，总会有拐点，也就是增长曲线急剧变陡的那个时刻，一旦跨过这个点，系统就可能完全无法运行。

因此，我们使用阶数符号来：

抽象地描述算法的时间/空间增长趋势；
比较不同算法的扩展性和效率；
预测在更大数据规模下的可行性；
帮助我们做出理性选择，设计更高效的解决方案。

总结来说，阶数符号是一种核心工具，它帮助我们从"输入规模"这个根本出发，理性分析和分类算法的扩展能力，是计算和程序设计中非常基础但又至关重要的概念。

黑板：为什么在考虑算法的可扩展性时，我们不关心常数

在谈论时间复杂度（也就是阶数符号）时，我们通常并不会包括诸如"每次操作耗时五秒"这类的常数项。我们忽略它，并不是因为它完全无用，而是因为我们在意的是随着输入规模增长，算法的整体趋势是如何变化的 ，也就是算法的扩展性。而常数部分对这种扩展趋势没有实质影响。

当我们说一个算法是 O(n) ，或者 O(n²)，实际上我们真正的意思是它的复杂度是某个常数乘以 n 或 n²。比如说：

O(n) 实际可能是 O(c × n)
O(n²) 实际可能是 O(c × n²)

其中的 c 是某个常数，比如每次操作花费的时间、每条指令的执行次数等等。在实际推导或分析算法时，这个常数是存在的，而且在某些上下文中（比如具体的架构或虚拟机模型）甚至可以被精确计算出来。

但在阶数分析中，这个常数我们通常不关心。

我们之所以不关心，是因为：

1. 常数不会影响"增长趋势"

常数不会改变算法随着输入变大的整体表现。如果我们画图：

O(n) 是一条斜率恒定的直线
O(n²) 是一条抛物线

哪怕把 O(n) 的那条直线乘上一个常数，它还是直线；哪怕把 O(n²) 的那条曲线乘上常数，它依然是抛物线。也就是说，曲线的形状不会因为常数改变。

因此，即便 O(n) 的那个常数是 1000，O(n²) 的那个常数只有 0.001，当输入足够大的时候，n² 的那条曲线依然会远远超过 n 的那条线。

2. 常数只决定执行的"快慢"，不是"能不能继续扩展"

在实际写程序时，我们当然会在乎常数。因为它影响某一组数据在某台机器上能跑得多快、资源消耗是多少。但这属于性能问题 ，不是扩展问题。

扩展性（scalability）只关心一个问题：输入规模不断扩大时，运行时间是否还能保持合理的增长。

比如说：

一个 O(n) 的算法哪怕慢一点，每增加一个单位输入，执行时间也只是慢一点。
一个 O(n²) 的算法哪怕非常快，总有一天，输入量大到一定程度后，再加一个元素，它的运行时间就会出现指数级的崩溃，这是不可避免的。

这就是为什么我们说，O(n) 是"永远可以扩展"的，而 O(n²)、O(2ⁿ) 等是"最终必然会崩溃"的。

总结

我们使用阶数符号，是为了描述一个算法在无限输入增长趋势下的运行表现。在这个层面上：

常数项不影响判断结果；
我们只关心最高阶项；
目的是判断算法是否可扩展。

至于性能层面的优化，例如减少常数、优化指令数量，那是实现时的考虑，而不是阶数分析的核心内容。

我们真正想知道的是：这个算法是不是在数据量变大的时候，还能继续工作。如果不能，问题就不在常数，而在于增长曲线的陡峭程度------这正是阶数符号要告诉我们的最关键的信息。

黑板：这如何转化为代码

这部分内容主要讲的是时间复杂度（也称为阶数符号）如何在实际编程中体现，特别是如何通过代码结构，尤其是循环结构，直观地看出算法的增长趋势和复杂度。

1. O(n) 的体现：单层循环

当我们写出一个简单的 for 循环：

cpp 复制代码

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    // 执行某些操作
}

这个循环会遍历 n 个元素，每个元素只处理一次，所以整体的时间复杂度是 O(n)。这就是线性时间复杂度，也就是说，处理的时间和输入的数据量是成正比的。

这样的结构在程序中很常见，比如线性查找、逐项累加、逐项输出等等。它的可扩展性非常好，输入量增大时，执行时间也是以同样的比例增长。

2. O(n²) 的体现：两层嵌套循环

当我们写嵌套循环时，比如：

cpp 复制代码

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        // 执行某些操作
    }
}

在这种结构下，外层循环跑 n 次，每次内层也跑 n 次，总共会执行 n × n = n² 次操作。所以时间复杂度是 O(n²)，也就是平方级增长。

这样的结构常出现在需要比较所有元素对的场景中，比如：

判断两个元素是否相同（全对全）
简单的排序算法（如冒泡排序）
笛卡尔积、图的邻接矩阵遍历等

随着输入规模增大，执行时间会指数级增长，性能下降非常明显，不可扩展性就显现出来了。

3. 更高阶复杂度：O(n³)、O(n⁴)...

如果在循环中再加一层嵌套：

cpp 复制代码

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
            // 执行某些操作
        }
    }
}

这种三层嵌套的循环会执行 n × n × n = n³ 次操作，时间复杂度为 O(n³)。随着嵌套层数增加，时间复杂度的阶数也会增加，增长速度非常快，通常在实际工程中要极力避免。

4. 递归与阶数

虽然代码中不一定是 for 循环，递归也会有类似的增长特征。如果一个递归函数每次都对 n 规模的问题继续调用一次自身，直到 n 减小到 0，那么它的复杂度也是 O(n)。

但如果递归结构中，每一层又调用多次自身（如二叉递归），那么复杂度就会变得更高，比如 O(2ⁿ) 甚至更复杂。这取决于递归调用树的"宽度"和"深度"。

5. 总结：阶数与代码的直接对应关系

O(1)：没有循环或递归，只是常数级操作。
O(n)：一层线性循环。
O(n²)：两层嵌套循环。
O(n³)：三层嵌套循环。
O(log n)：每次操作将问题规模减半，比如二分查找。
O(n log n)：常见于合并排序、快速排序等。

这些复杂度在代码中往往可以直接看出来，通过观察循环的层数、每层循环的次数、递归的调用方式，可以快速判断算法的时间复杂度。

总的来说，时间复杂度并不是一个纯理论概念，而是可以直接映射到我们写的代码结构中 ，尤其是循环和递归的使用方式上。掌握这一点，有助于我们在编写代码时就预估算法的可扩展性，并在性能优化时做出正确的判断。

黑板：大O表示法表示"最坏情况运行时间"

这部分内容主要讲解了大O符号（Big O Notation）在实际使用中需要理解的更深层次含义，尤其是它描述的是最坏情况下的运行时间 ，而不是代码每次运行时的确切表现。同时也提到了其他几种复杂度的衡量方式，如最佳情况 和平均情况（期望情况）。

以下是详细总结：

1. 大O表示的是最坏情况（Worst-Case）

当我们说一个算法是 O(n)、O(n²) 等时，指的是这个算法在最坏的输入条件下所需执行的操作次数上限。这是一个**上界（Upper Bound）**的概念。

即：

如果我们写了一个 n² 级别的嵌套循环，但其中有 break，可能提前退出。
实际运行时，有时候这段代码不会执行完整的 n² 次循环，也许只执行几次甚至一次。
然而，我们仍然把这个算法标记为 O(n²)，因为在某些输入情况下，它确实可能会完整执行 n² 次。

所以，大O复杂度描述的并不是实际每次运行的时间 ，而是我们可以理论上预期它最慢会跑多久。这种分析方法让我们对程序在极限情况下的表现有清晰认知。

2. 为什么强调最坏情况？

我们关心最坏情况，是因为：

我们在分析可扩展性 和系统承载能力时，需要知道在最差情况下它能否承受。
比如处理网络请求、实时系统、游戏逻辑等场景，如果最坏情况的代价太高，可能会导致卡顿、崩溃或延迟。
所以我们更关注算法的最大压力承受能力，而不是平均表现。

举个例子：

如果一个算法在最坏情况下是 O(n²)，我们必须为它准备好处理 n² 级别时间的能力。
即使平时只运行到 O(n)，也不能保证未来不会出现糟糕输入。

3. 平均情况与最佳情况

虽然我们通常讨论的是最坏情况，但有时我们也会关心：

最佳情况（Best-Case）：

表示输入特别理想时，算法可能跑得特别快。
比如：快速排序在已经排好序的数组中，某些实现可能直接返回，不需要任何交换，时间为 O(n)。

平均情况（Expected / 平均运行时间）：

表示在典型的、随机输入下，算法平均需要多少操作。
比如哈希表查找的平均复杂度是 O(1)，但最坏是 O(n)（所有元素冲突时）。

这类分析常用于：

评估性能表现。
判断是否适合实际使用场景，比如离线工具 vs. 实时程序。

4. 使用场景与风险评估

如果我们设计的是一个游戏或实时交互系统，哪怕平均情况复杂度低，也要考虑最坏情况是否可以接受。
如果是一个工具型程序，运行时间偶尔长一点可以容忍，那么可以选择平均复杂度低、但最坏复杂度略高的算法。
所以我们通常根据应用场景决定更偏重哪种复杂度的衡量。

5. 总结

大O复杂度描述的是最坏情况的运行时间，是一种上限估计。
不能简单根据代码结构来判断算法执行时的操作次数，还要考虑输入的不同 可能导致的执行路径差异。
实际运行中可能远远达不到这个复杂度，但我们仍以它为基准，是为了衡量系统在最极端压力下的表现。
除了最坏情况，还可以分析平均情况（Expected）和最佳情况（Best-Case），帮助做出更全面的算法选择和风险评估。

这部分内容强调了算法分析中的保障性思维：即便最常见的情况很轻松，也必须确保最坏情况不会拖垮整个系统。

黑板："随机算法"

这一部分内容进一步扩展了对算法运行时间分析的理解，介绍了**期望运行时间（Expected Time Complexity）的应用场景，特别强调了随机化算法（Randomized Algorithms）**作为一种实际可行的应对复杂度不确定性的手段，并指出这些算法虽然在某些场景中非常有用，但在实时性强的应用（例如游戏）中不一定适用。

以下是详细中文总结：

1. 期望运行时间 vs 最坏情况

在前文我们强调了最坏情况的重要性，但实际上在某些领域，我们也非常关注期望运行时间，也就是：

在大量随机输入的情况下，算法平均需要多长时间来完成任务。
某些算法虽然最坏情况非常糟糕（例如 O(n²)），但这些极端情况几乎不会真正发生 ，于是我们更关注它在正常输入下的表现。

2. 随机化算法（Randomized Algorithms）

为了解决某些算法在特定输入下极端变慢的问题，计算机科学家发明了一种非常有趣的策略：引入随机性来"打破"最坏情况输入的结构性特征。

核心思想：

算法内部引入随机行为，例如随机选择数据顺序、随机选择枢轴、随机跳转等。
如果发现当前运行结果不好（如性能太差），就可以重启算法并重新随机化，尝试得到一个更快的执行路径。
不关心每次运行都很快，只在乎整体的平均表现够好就行。

示例：

快速排序就是一个典型的可以用随机化枢轴优化的算法：虽然最坏情况下是 O(n²)，但通过随机选枢轴，平均性能稳定在 O(n log n)。
哈希表中的冲突问题，有时也通过随机哈希函数来优化分布，从而降低碰撞率。

3. 随机化算法的优劣势

优势	劣势
避免最坏情况输入导致的灾难性性能下降	运行结果具有随机性，不确定
平均性能优秀	难以用于实时系统，需要"可预期"的性能
实现简单，结构灵活	需要有"可重试"的容错性系统结构支持

适用场景：

更适用于离线工具 或批处理程序，即使某次运行失败，可以重启、重试，不会影响用户体验。
不太适合实时应用，如游戏、交互系统等，这类系统不能接受偶尔"卡顿"或"不可预测"。

4. 不仅仅是最坏情况，还有其他评估方式

虽然我们最常讨论最坏情况，但实际在学术界或工程领域，还会考虑：

最佳情况（Best-Case）：例如输入已经排好序等理想场景。
平均情况/期望情况（Expected Time）：即通常情况下的性能表现。
某些算法虽然在理论上是 O(n²)，但因为输入数据的特性或者概率机制，我们几乎永远不会触发那个慢的分支，所以被视为"实用"。

5. 总结

我们不总是只看最坏情况复杂度，期望运行时间在实际工程中也很重要，尤其是能提供更接近"日常使用体验"的评估。
随机化算法 是一种重要手段，通过引入概率性来优化平均性能、规避结构性最坏情况，是计算机科学中的一个成熟研究方向。
虽然这类算法不一定适合所有领域（比如对性能一致性要求高的实时系统），但它们在数据处理、离线计算、编译器优化等方向中非常有价值。
感兴趣时可以深入阅读相关理论和案例，会有很多"意想不到的巧妙思想"，既有趣又实用。

总之，这一部分强调了算法性能评估的多维度视角 ，并介绍了一类为"规避最坏情况"而生的强大技术------随机化算法，为我们理解和选择算法提供了更丰富的参考依据。

黑板：P（多项式）与NP（非确定性多项式）

这一部分深入介绍了计算复杂度理论中非常核心的概念：P、NP、NP-Complete 和 NP-Hard，并且通过非常直观的方式解释了它们背后的数学原理，尤其是与大 O 表示法（Big-O Notation）的关系。我们可以从中得到关于"什么是可解的""什么是计算上不可接受的"这些问题的基础理解。

以下是详细中文总结：

一、P 与 NP 的基本概念

我们常常听说某些算法"在 P 类里"、"是 NP 问题"、"NP 完全"、"NP 困难"，这些术语其实都来自于计算复杂度理论 ，本质上是大 O 表示法的扩展。

什么是 P？

P（Polynomial Time） 表示多项式时间 ，即该问题的算法运行时间可以被写成一个n 的多项式函数。
例如：O(n)、O(n²)、O(n³)、O(n⁹)、甚至 O(n¹²)，这些都是"P 类"的算法，虽然 n¹² 很慢，但它依然是可控的。
所有可以用多项式函数表示其复杂度的问题，我们都称它们是P 类问题，也就是"在 P 中"。

简单说：可以用多项式时间解决的问题属于 P 类。

什么是 NP？

NP（Non-deterministic Polynomial Time） 并不是"不是 P"的意思，而是指非确定性多项式时间。
它通常描述的是：一个问题的解可以在多项式时间内被"验证"是否正确，但不一定能在多项式时间内"找到"这个解。
更直观地理解：解法难找但好验证。
数学表示上，这类问题的复杂度通常长成这样的形式：O(2ⁿ) 、O(n!) ------ 即 指数时间（Exponential Time），不能用多项式形式表示。

二、P 与 NP 的本质区别

类别	时间复杂度	可解性	可验证性	规模扩大时表现
P	多项式时间	容易解决	容易验证	相对温和增长
NP	指数时间	很难解决	容易验证	急剧爆炸增长

举例：

P 类问题的复杂度如 O(n²)，虽然慢，但机器仍能处理较大规模。
NP 类问题的复杂度如 O(2ⁿ)，当 n 达到几十，就可能无法在可接受时间内运行完成。

通过图像可以直观看出：

2ⁿ 的增长 比 n² 的增长要陡峭得多，n² 在图上甚至看起来像一条直线，完全不是一个量级。

三、P 和 NP 是"问题的集合"

这里说的"P 是多项式算法"，"NP 是非多项式算法"，其实指的是问题的分类集合。
我们将所有可以多项式时间解决的问题放入集合 P ，而将所有解可以在多项式时间内被验证的问题放入集合 NP。
所以说"某个算法在 P 中"就是表示它的时间复杂度属于 P 类，可以被多项式函数表达。
反之，NP 中的问题可能没有人知道怎样高效求解它们，但我们知道怎样快速检查一个解是否正确。

四、NP-Complete 和 NP-Hard（虽未深入但有提及）

虽然这部分并没有详细展开 NP-Complete（NP 完全）和 NP-Hard（NP 困难）这两个术语，但它们通常是在 P 和 NP 的基础上进一步延伸出来的重要概念：

NP-Complete ：最难的 NP 问题，只要能解决其中任何一个，就能解决所有 NP 问题。
NP-Hard ：比 NP-Complete 更难，甚至不一定可以验证解是否正确。

五、为什么关心这些？

这些概念并不是抽象理论，而是实际工程中非常重要的指导原则：

我们评估一个算法是否可用，不只是看能不能写出来，而是看它在面对"大规模数据时"的表现。
若某个算法的复杂度是 O(2ⁿ)，哪怕只输入 n=30，可能就已经完全不能运行；而 O(n²) 至少还能接受。
所以，P 类问题是我们工程实践中更关注的目标，因为它们可控、可扩展、可以实际运行。

六、总结

P 类问题是指能用多项式时间解决的问题（可解、可扩展）。
NP 类问题是指虽然可以验证一个解是否正确，但求解过程可能非常耗时（指数级别增长）。
能写成 O(n^k)（k 为任意常数）的算法是 P；不能写成多项式形式的，比如 O(2^n)，就是 NP。
NP 并不意味着"不可能"，只是目前还没找到多项式解法。
P 与 NP 的差异在规模上呈现出天壤之别，这就是我们对复杂度分类如此在意的原因。

这一部分为我们建立了处理问题的"可计算性直觉"，我们可以更有意识地识别哪些问题是工程上可解的，哪些问题需要规避或使用近似算法、随机化算法等替代策略。

黑板：关于如何将问题分类为P或NP，例如"布尔可满足性问题"

我们接着继续探讨 P 和 NP 问题的更具体内容，特别是这些概念在实际编程中带来的难题和未解之谜。

一、P 和 NP 的分类其实并不简单

虽然我们知道 P 表示多项式时间的问题，NP 表示非多项式时间的问题，但实际上将某一个具体问题准确归类为 P 或 NP，并没有我们想象的那么直接和容易。

我们可能以为，只要看一下问题本身，稍作分析就能判断它是不是可以用一个多项式时间算法解决，或者只能用指数时间算法解决。但事实是：很多实际问题目前仍无法确定属于哪个集合。

二、P vs NP：计算机科学中一个未解的核心问题

这也就是"P = NP？"这个问题如此著名的原因。我们还不知道 P 是否等于 NP，也就是说：

我们知道很多问题在 NP 中（即：解很难找，但可以快速验证）。
但我们不知道它们中是否有一些其实也属于 P（即：其实也能在多项式时间内求解，只是我们还没找到方法）。

三、具体例子：3-SAT 问题（布尔表达式满足性问题）

以 3-SAT 问题（布尔表达式可满足性问题）为例，它非常简单但深具挑战性：

问题描述：

给定一个布尔表达式，由 AND（与）、OR（或）和 NOT（非）组成，并包含若干个布尔变量（如 A、B、C、D 等），每个变量的取值只能为 True 或 False。

任务是判断：是否存在一种变量的赋值组合 ，使得整个表达式为 True。

举个例子：

text 复制代码

(A AND NOT B) OR (B AND A) OR (NOT C) OR (C AND D)

假设有 n 个布尔变量，那么每个变量有两种取值（True 或 False），所有可能组合总数为 2ⁿ。

这就出现了问题：

如果我们采用穷举（brute-force）方法，即尝试所有 2ⁿ 种组合，效率极低，时间复杂度是 O(2ⁿ)，即指数时间。
这意味着：随着变量数量增加，运行时间会急剧飙升，无法处理大型输入。

所以我们可以说，目前已知方法只能以非多项式时间来解决它，因此我们认为它是 NP 问题。

四、但问题来了：我们无法证明是否存在更快的算法

尽管我们目前没有找到任何可以在多项式时间内解决 3-SAT 问题的算法，但也不能证明这样的算法绝对不存在。

这正是计算机科学中悬而未决的难题：

如果有人能证明 3-SAT 或类似问题 确实无法在多项式时间内解决 ，那就等于证明了 P ≠ NP。
如果有人能找到一种多项式时间的通用解法 ，那就意味着 P = NP，将彻底颠覆整个理论基础。

五、这个问题为什么重要？

这是因为：

现实中很多重要问题（路径优化、调度、密码学、搜索、逻辑推理等）都被归类为 NP 问题。
如果我们能证明某些 NP 问题其实属于 P，那我们可以设计出极高效的算法，解决很多以前难以处理的问题。
如果不能，我们就知道在面对某些问题时，必须使用启发式算法、近似算法或随机算法，因为没有完美解法。

六、总结要点

P 问题：可以在多项式时间内求解的问题。
NP 问题：不能确认是否能在多项式时间内求解，但解可以在多项式时间内验证。
我们目前无法完全确定许多问题属于 P 还是 NP。
像 3-SAT 这样的问题，本身看起来很简单，但可能只能通过指数时间的方式求解，除非我们找到某种突破。
这也使得 "P vs NP" 问题成为计算机科学最重要的未解问题之一。

这段内容帮助我们建立了对复杂问题难解本质 的深刻理解，同时也提醒我们：算法设计不是只看形式和直觉，而是与计算复杂度理论紧密相关的工程和科学挑战。

黑板："NP完全性"

我们继续深入探讨关于 NP 完全（NP-Complete）问题的本质和它在计算机科学中的重要性。

一、什么是 NP 完全问题？

当我们说某个问题是 NP 完全（NP-Complete） 的时候，我们指的是：

目前没有任何人找到一个能在多项式时间内求解该问题的算法。
但同时，也没有人能够证明这个问题一定无法在多项式时间内解决。
我们可以在多项式时间内验证给定解是否正确。

换句话说：

解答可能非常难找；
但是，一旦有人给出了解答，我们可以在合理的时间内确认它对不对。

这类问题就是 NP 完全问题。

二、NP 完全的核心特点

总结来说，NP 完全问题具有以下几个核心特征：

验证容易（Verification in P） ：

给定一个解，可以在多项式时间内验证其正确性。
求解未知（Solution in P?） ：

尚未找到一个能在多项式时间内求解所有输入情况的通用算法。
归约性质（Reduction） ：

所有 NP 完全问题之间可以互相转化（归约），即：如果我们能用 P 时间解决其中一个问题，就等于可以用 P 时间解决所有 NP 完全问题。

三、等价性与归约：一通百通

计算机科学家已经证明，所有的 NP 完全问题是等价的，即它们之间可以互相转换。

这意味着：

假如某人找到了一个 NP 完全问题的 P 时间解法，
那么可以通过一系列的逻辑映射，把其他 NP 完全问题转化为这个问题的形式，
从而也能用同样的方式在 P 时间内解决其他所有 NP 完全问题。

这就是所谓的 "一通百通"。

四、现实中的 NP 完全问题举例

这类问题并非抽象概念，而是非常具体、贴近现实的任务。比如：

1. 3-SAT 问题（布尔表达式可满足性）：

给出一组布尔表达式，判断是否存在一组变量取值（真或假）使整个表达式为真。验证容易，但穷举难。

2. 宿舍分配问题（如 Dean's List）：

有一组学生及一张"不能同住"的排斥名单，要求将学生分配进若干宿舍，确保没有冲突。

这听起来很日常，也很合理，但它属于 NP 完全问题，意味着目前我们只能验证解法，却不能在多项式时间内快速求解。

五、为什么这类问题让人头疼？

我们不知道这些问题到底是不是 P 问题：

有可能我们只是没找到更聪明的算法；
也有可能这些问题从根本上就不是 P 类问题，必须要用指数级时间才能解决。

但是我们无法证明这两种情况的任何一种，这就成为了计算机科学领域的一个巨大障碍。

六、理论的意义：P = NP？

如果有一天我们找到了一个 NP 完全问题的 P 时间解法，那么就等于：

P = NP 被证实；
所有目前被认为"计算上困难"的问题，都会变得"可以快速求解"；
对密码学、安全、资源调度、人工智能等领域都会产生颠覆性的影响。

相反，如果我们能够证明这些问题永远不可能在多项式时间内解决，那么我们就确认了 P ≠ NP，也能指导我们放弃对某些算法的幻想，转而寻找近似或启发式解法。

七、总结核心点

NP 完全问题是我们能验证但无法快速求解的问题。
它们的验证可以在 P 时间内完成。
所有 NP 完全问题之间可以互相转化，所以它们是一个等价的问题族。
如果能在 P 时间内解决其中任何一个，就等于能解决所有 NP 完全问题。
到目前为止，我们既无法证明它们一定不可解 ，也没能找到有效的多项式时间算法。
这类问题广泛存在于现实生活中，影响深远，等待被彻底理解或攻克。

这个问题的开放性，使得"P 与 NP 问题"成为理论计算机科学中最重要、也最神秘的核心议题之一。

黑板：*陷阱！例如"旅行商问题"

我们进一步梳理 NP 问题相关的分类与常见误区，尤其是一些容易被误解的点。

一、不要轻易认为一个"难题"就是 NP 完全问题

很多时候，我们一看到一个问题很难，就会下意识地认为它是 NP 完全问题。但这种判断方式是错误的。难度高 ≠ NP 完全。这是一种典型的误区。

比如：

旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）

这个问题的本质是：

给定若干城市（节点），城市之间有路径（边），
每条路径有一个代价（可以是距离、时间等），
要求找到一条路径，这条路径经过所有城市一次且只一次，最后返回起点，并且总花费最小。

这个问题听起来很像 NP 完全问题，实际上不是。它属于NP 难（NP-Hard），这是另一个更宽泛的复杂性类别。

二、为什么旅行商问题不是 NP 完全？

NP 完全问题有一个很关键的属性：

我们可以在多项式时间内验证一个解是否正确。

比如：

对于布尔可满足性问题（SAT），
如果我们给出一组变量的真假赋值，
可以快速验证这个赋值是否满足表达式。

但旅行商问题不具备这个属性。

假设有人给出一个"最短路径"的解：

我们无法在多项式时间内确认这个路径是否真的是最短的。
想要验证最优性，我们反而需要重新解决整个问题。
验证过程本身和求解过程一样困难。

所以：

它不是 NP 完全问题；
因为无法在 P 时间内验证解是否是最优解；
它属于 NP 难问题。

三、什么是 NP 难（NP-Hard）问题？

NP 难问题的定义是：

所有 NP 问题都可以被规约（转换）为它，但它本身不一定属于 NP。

换句话说：

NP-Hard 是至少与 NP 中最难的问题一样难，甚至可能更难；
它不要求解必须在非确定型图灵机上可验证；
它可能根本没有解，或者不在决定性问题范畴内（比如某些优化问题）；
所以我们不能认为它一定是 NP 完全的。

四、常见分类关系简述

问题类型	定义简述	示例
P	可在多项式时间内求解的问题	排序、加法、查找等
NP	可在多项式时间内验证解是否正确的问题	SAT、图着色问题等
NP 完全	属于 NP，且任意 NP 问题都可规约为它	3-SAT、哈密顿回路等
NP 难	所有 NP 问题都可规约为它，但它本身不一定属于 NP（可能更难）	旅行商问题、象棋等游戏状态评估

重要的是：

NP 完全 ⊆ NP 难；
所有 NP 完全问题都是 NP 难问题；
但不是所有 NP 难问题都是 NP 完全问题。

五、NP 难问题的验证难度

NP 完全问题的解可验证：

给定一个可能的解（比如一个布尔变量赋值），我们可以验证这个解是否满足问题条件；
这让它适合用于逻辑推理、自动化验证等场景。

但 NP 难问题：

就算拿到了解，我们也无法快速验证它是否是最优解；
验证过程本身就需要和求解一样复杂的计算；
这让它在现实中更加棘手。

六、复杂性分类体系的扩展性与模糊性

复杂性理论中存在大量术语：

NP、NP-Complete、NP-Hard、
还有 PSPACE、EXPTIME 等更高层级，
各自定义都很精细，但也容易被混淆。

尤其对于非专业背景的人来说：

很多术语看起来类似、含义却截然不同；
很容易在讲解或理解时产生错误；
所以需要非常小心，特别是在公开讲解时避免误导。

七、学习建议

如果对这些内容感兴趣：

可以深入学习计算复杂性理论，尤其是图灵机模型、规约技术和可计算性；
多阅读教材或相关论文，可以帮助建立更准确的理解；
重点理解 "P vs NP" 问题，这是计算机科学最深刻、未解的核心问题之一。

八、最后总结重点

不要因为一个问题"很难"就认为它是 NP 完全的。
旅行商问题是 NP 难问题，不是 NP 完全问题。
NP 完全问题有 P 时间验证器，NP 难问题则不一定有。
NP 难问题可能更广泛、更复杂，甚至包含无法验证的问题。
NP、NP 完全、NP 难之间有严格的数学关系，不能混用。
分类体系庞大又复杂，但逻辑非常严谨，适合深入研究。

这些知识构成了计算复杂性理论的基石，对理解计算的极限、算法的效率和问题的可解性具有非常重要的意义。

黑板：排序

我们现在来讨论排序，以及为什么排序问题和时间复杂度（也就是我们常说的"大 O 符号"）关系密切。

一、为什么我们关心排序？

排序是计算机科学中一个经典问题，它的研究历史悠久，意义重大。我们之所以选择在这里讨论排序，是因为它非常适合作为引出**时间复杂度和渐进分析（大 O 符号）**的例子。

排序的重要性主要体现在以下几个方面：

它非常常见： 几乎所有实际应用中都涉及排序操作，比如显示排行榜、用户列表、时间轴等。
它的性能影响巨大： 排序操作处理的数据量往往很大，因此其算法效率对整体程序性能至关重要。
它是一个结构清晰的问题： 输入明确（一个可比较的元素列表），目标简单（按某种顺序排列），适合用来分析和比较不同算法的效率。

二、排序为什么容易陷入 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的复杂度？

排序的本质就是：将一组元素按某种顺序进行排列。

要做到这件事，我们通常需要比较元素之间的大小关系。而一旦涉及比较，问题就变成了"每两个元素之间的比较"。

这种"成对比较"的逻辑会导致如下问题：

假设我们有 n n n 个元素；
如果我们每两个都比较一次，总共就有 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1) 次比较；
渐进地看，就是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。

这种复杂度就像我们一开始提到的"信封配对问题"，本质上是成对地分析两个元素的关系，一旦这样做，就容易落入二次复杂度的陷阱。

这就是为什么天真或直观的排序方式通常是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的原因，比如冒泡排序、选择排序和插入排序。

三、排序算法是如何优化这些的？

正因为排序容易达到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，所以它成为了研究优化算法的重点对象。我们可以通过更复杂、更巧妙的策略来降低排序的时间复杂度：

归并排序（Merge Sort）： 使用分治法将数组不断分为更小的子问题，合并时再进行排序，总体复杂度为 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)；
快速排序（Quick Sort）： 利用划分策略，选取一个"基准元素"，将比它小和大的元素分别排到两边，也能达到平均 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)；
堆排序（Heap Sort）： 利用堆结构维护一个排序优先队列，也能达到 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)。

这些算法的共同点是：

它们不再简单地进行每一对元素的比较；
它们使用了结构性策略（分治、递归、堆化等）来减少不必要的比较次数；
最终让排序的复杂度大大降低，从 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 降到了 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)。

四、排序算法的意义不仅在于排序

我们研究排序不仅是为了排序本身，还有以下几个原因：

排序是很多其他算法的基础： 如二分查找、搜索优化、区间合并等都依赖于排序的结果；
排序是性能瓶颈的典型代表： 如果一个程序运行慢，排序往往是"幕后元凶"之一；
排序是理解复杂度增长趋势的起点： 它让我们第一次看到从 O ( n ) O(n) O(n) 到 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn) 再到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 之间的差别；
排序启发了很多其他领域的优化思路： 包括图算法、数据压缩、分布式计算等。

五、总结

我们之所以在讲解时间复杂度时选择排序作为例子，是因为排序：

本身具备典型的复杂度陷阱（天真的算法是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)）；
经过深度研究后能优化到 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)；
涉及到了"比较次数"、"成对操作"、"分治策略"等一系列复杂度分析中核心概念；
是理解算法效率提升的关键入口。

排序是进入算法世界的"第一道门"，深入理解排序问题及其优化策略，将为理解更复杂的问题（比如图、搜索、NP 类问题）打下坚实的基础。

game_render_group.cpp：请注意，当前的SortEntries函数是O(n^2)

在讨论排序算法时，我们需要考虑它的运行时间。假设我们使用的是一个简单的排序算法，像冒泡排序、选择排序或插入排序，我们会注意到，算法的时间复杂度通常是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。

时间复杂度分析

内部结构： 假设排序算法中有一个外部循环，它会遍历所有的元素。这个外部循环会执行 n n n 次，其中 n n n 是待排序元素的个数。接下来，内部可能还会有一个循环来与其他元素进行比较。
计算次数： 具体来说，外部循环会执行 n n n 次，而内部循环则会在每次外部循环时遍历剩余的元素。因此，内部循环执行的次数是 n − 1 n-1 n−1、 n − 2 n-2 n−2 等，最终总的比较次数大致是 n + ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + ⋯ + 1 n + (n-1) + (n-2) + \dots + 1 n+(n−1)+(n−2)+⋯+1，这将导致 n ( n − 1 ) / 2 n(n-1)/2 n(n−1)/2 次比较。根据大 O 符号的定义，这个计算量的增长是与 n 2 n^2 n2 成比例的。
总结： 由于这种双重循环的结构，算法的时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，也就是说，当数据量 n n n 增加时，所需的计算时间是按平方级别增长的。

结论

因此，这个排序算法的运行时间是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。这意味着，随着待排序元素数量的增加，算法的执行时间会迅速增长，尤其是当元素数量很大时，效率会急剧下降。这也是为什么我们希望通过优化排序算法来提高效率，例如使用归并排序或快速排序等 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn) 复杂度的算法。

黑板：为什么SortEntries是O(n^2)

在分析排序算法的时间复杂度时，假设我们有两个嵌套的循环来遍历待排序的元素。外层循环从第一个元素遍历到倒数第二个元素，内层循环则比较每一对元素。这意味着，外层循环执行了 n n n 次，内层循环执行了 n − 1 n-1 n−1 次，所以总的比较次数是 n ( n − 1 ) / 2 n(n-1)/2 n(n−1)/2，这最终的复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。

具体来说：

外层循环： 外层循环执行 n n n 次。
内层循环： 每次外层循环执行时，内层循环执行 n − 1 n-1 n−1 次。因此，整个排序算法的比较次数是 n + ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + ⋯ + 1 n + (n-1) + (n-2) + \dots + 1 n+(n−1)+(n−2)+⋯+1，即一个从 1 1 1 到 n − 1 n-1 n−1 的递减序列。

这些操作的总次数大约是 n 2 n^2 n2，但我们不关心具体的常数项和低阶项（比如 n − 1 n-1 n−1），因为在大规模数据集时，它们对最终的复杂度影响不大。

因此，无论如何，最终的时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。这就意味着当数据量非常大时，算法的执行时间会随着元素数量的增加而迅速增长。举个例子，如果需要排序一百万个元素，使用这种算法将需要非常长的时间，几乎不适合大数据量的排序。

总结：

这种排序算法由于其 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的时间复杂度，并不适合处理大规模数据集。当数据量很大时，效率会急剧下降，因此我们通常需要寻找更高效的排序算法，比如归并排序或快速排序，它们的时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)，能大大提高处理速度。

cpp 复制代码

internal void SortEntries(render_group *RenderGroup) {
    //
    uint32 Count = RenderGroup->PushBufferElementCount;
    tile_sort_entry *Entries =
        (tile_sort_entry *)(RenderGroup->PushBufferBase + RenderGroup->SortEntryAt);
    for (uint32 Outer = 0; Outer < Count; ++Outer) {
        for (uint32 Inner = 0; Inner < (Count - 1); ++Inner) {
            tile_sort_entry *EntryA = Entries + Inner;
            tile_sort_entry *EntryB = Entries + Inner + 1;
            if (EntryA->SortKey > EntryB->SortKey) {
                tile_sort_entry Swap = *EntryB;
                *EntryB = *EntryA;
                *EntryA = Swap;
            }
        }
    }
}

黑板：关于如何让排序不再是O(n^2)

在排序算法的研究中，人们一直在尝试寻找比 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 更高效的方法，避免通过逐个比较元素来完成排序。虽然在直观上可能很难理解如何做到这一点，但实际上有些算法利用了一些巧妙的技术，能够避免直接的元素比较，从而在某些情况下显著提高排序效率。

传统的排序方法，如冒泡排序或选择排序，都需要 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的时间复杂度，这意味着随着待排序数据量的增大，算法的执行时间增长得非常快。为了避免这种情况，研究人员开发了一些优化算法，它们通过不同的策略减少了不必要的比较，或通过其他方式提高了排序的效率。

尽管最直观的思路是每次都需要比较两个元素，找到合适的位置来排序，但某些排序算法通过分治法或其他高级技巧（如基数排序、桶排序等）使得排序过程不再依赖于每对元素的比较。例如，基数排序通过处理数字的每一位来进行排序，而不是直接比较所有元素。这样，通过合理的分配和处理，它能在特定情况下实现比 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 更低的时间复杂度。

尽管没有一个普适的简单直观的方式来理解如何做到这一点，但许多算法的核心思想是巧妙地利用数据的特性，减少计算量。接下来，如果详细分析某个特定的排序算法，会发现它通过特定的机制避免了不必要的比较，从而提高了性能。

黑板：走一遍我们当前的（冒泡排序）算法

在讨论排序算法时，之前采用的是一种非常基础的排序方法，类似于冒泡排序。假设有一个待排序的输入序列，我们希望将其从小到大排序。例如，给定一组数据：[d, b, c, d, a, b, c, e, f, g, a]，如果采用冒泡排序的方法，基本的思路是通过不断地比较相邻的元素，并根据需要交换它们的位置。

在冒泡排序中，每次通过比较相邻的两个元素，将较大的元素"冒泡"到序列的末尾。这个过程重复进行，直到所有元素都按顺序排列好。在最坏的情况下，冒泡排序的时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，因为每一轮需要将当前最小或最大元素移动到序列的正确位置，而这通常需要进行多轮比较。

即使我们对冒泡排序进行了优化，例如在每次比较后检查是否已经排好序并提前结束（通过设定一个标志位来检查是否发生了交换），在某些极端情况下，算法仍然会需要执行 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 次操作。这是因为，如果最小的元素已经位于序列的末尾，算法仍然需要进行 n n n 次交换，才能将最小元素移到正确的位置。这使得即使提前退出的优化措施也不能显著降低冒泡排序的时间复杂度。

所以，即使我们在某些情况下可以提前结束排序，冒泡排序仍然在最坏情况下运行 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的时间，这意味着它在处理大量数据时效率较低。

黑板：走一遍"分治法"（归并排序）算法

为了改进排序算法的效率，我们可以采用更高效的策略，如分治法。分治法是一种常用的算法设计策略，它的基本思想是将一个复杂的问题分解为若干个小问题，分别解决这些小问题，然后将结果合并起来。这样可以显著提高处理问题的效率，避免暴力的逐对比较。

分治法排序示例：

首先，我们可以将待排序的元素分为小的组。比如，我们将一个包含多个元素的列表分成若干个二元组，并对这些二元组进行排序。

假设我们有以下的未排序列表：

复制代码

d, b, c, d, a, b, c, e, f, g, a

步骤：

分组： 首先将这个列表分成若干个大小为2的小组：
复制代码
```
d, b | c, d | a, b | c, e | f, g | a
```
对小组进行排序： 对每一对元素进行排序。这是简单的比较，最多只需要一次比较来确定哪个元素排在前面：
复制代码
```
b, d | d, c | b, a | c, e | f, g | a
```
每对元素排序后，我们得到了每组的有序排列。
合并： 接下来，我们将两个已经排好序的元素对进行合并。通过比较每一对元素的第一个元素，选择较小的一个放入结果中，直到所有元素都被合并成一个有序序列。

假设我们首先将 b, d 和 d, c 进行合并：
复制代码
```
比较 b 和 d，b 比 d 小，放入结果。
然后比较 d 和 c，c 比 d 小，放入结果。
继续这个过程，最终得到有序的序列。
```
重复合并： 这个过程继续下去，直到所有的元素都按顺序排列。通过分组、排序和合并，可以避免逐一比较所有元素，从而提高效率。

复杂度：

这种方法显著减少了比较次数。在最坏的情况下，比较次数远远少于 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。每次合并时，只需要做几次比较就可以确定两个元素对的位置，因此可以在 O ( n ) O(n) O(n) 的时间内完成每次合并操作。整体而言，这种方法的时间复杂度为 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)。

总结：

通过分治法，我们能够将排序的时间复杂度从最初的 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 降低到 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)，这大大提升了排序效率，尤其是在处理大量数据时，能够显著减少所需的时间。

好的，下面我会通过具体的例子来展示如何使用分治法进行排序，具体来说是 归并排序。

假设我们有一个待排序的列表：

复制代码

[3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]

步骤 1：分割

首先，我们将列表分成两半。不断将列表分割，直到每个子列表只包含一个元素：

复制代码

[3, 1, 4, 1, 5]   [9, 2, 6, 5, 3, 5]

再分割：

复制代码

[3, 1]   [4, 1, 5]     [9, 2]   [6, 5, 3, 5]

继续分割：

复制代码

[3]   [1]   [4]   [1]   [5]     [9]   [2]     [6]   [5]   [3]   [5]

现在每个子列表都只包含一个元素。

步骤 2：合并并排序

接下来，我们开始将这些单独的元素合并成有序的子列表。

合并 [3] 和 [1]，比较后得 [1, 3]。
合并 [4] 和 [1]，得到 [1, 4]。
合并 [5] 和 [9]，得到 [5, 9]。
合并 [2] 和 [6]，得到 [2, 6]。
合并 [5] 和 [3]，得到 [3, 5]。
合并 [5] 和 [5]，得到 [5, 5]。

此时，我们的列表部分变为：

复制代码

[1, 3]   [1, 4]     [5, 9]     [2, 6]   [3, 5]   [5, 5]

步骤 3：继续合并

我们继续将这些部分合并：

合并 [1, 3] 和 [1, 4]，得到 [1, 1, 3, 4]。
合并 [5, 9] 和 [2, 6]，得到 [2, 5, 6, 9]。
合并 [3, 5] 和 [5, 5]，得到 [3, 5, 5, 5]。

此时，列表变为：

复制代码

[1, 1, 3, 4]   [2, 5, 6, 9]   [3, 5, 5, 5]

步骤 4：最终合并

最后，我们将这些已经排好序的部分继续合并：

合并 [1, 1, 3, 4] 和 [2, 5, 6, 9]，得到 [1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9]。
合并 [1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9] 和 [3, 5, 5, 5]，得到最终的有序列表：

[1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 9]

总结

归并排序通过分治法将问题分解成更小的部分，每部分的排序过程相对简单，最终合并这些部分就能得到一个有序列表。归并排序的时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)，比简单的冒泡排序（ O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)）要高效得多。

在实际应用中，归并排序特别适合处理大规模数据，它的效率比其他简单排序算法更为优越。

黑板：比较这两种算法

在这个例子中，假设我们有一个列表，想要对其进行排序。我们首先探讨了如果用传统的 n² 时间复杂度的方法进行排序，比较次数将会是 n² ，也就是在最坏的情况下，比较次数是 n 的平方。在这个例子中，如果列表有 8 个元素，那就会有 64 次比较。

但使用分治法（比如归并排序），我们可以显著减少比较的次数。通过将列表分成两部分，递归地处理每一部分，最后合并起来，所需的比较次数明显少于传统的排序方法。

比较次数分析

在传统的 n² 排序方法中，每次都会比较两个元素，每一轮比较都涉及到列表中的大部分元素，因此总的比较次数是 n² 。例如，对于一个包含 8 个元素的列表，最多需要做 64 次比较。

然而，使用分治法时，归并排序的比较次数是按照层级逐步减少的。在归并排序中，列表首先被分割成两部分，然后每部分内部进行排序，再合并起来。每一层的排序过程都需要做的比较次数较少，而且每次合并时，处理的子列表的元素数量不断增加。比如，如果一开始每次比较的是 2 个元素，那么到最后每次比较的可能是整个列表的一部分。

归并排序的时间复杂度分析

归并排序的核心思想是递归地分割和合并，比较次数在每一层递归中是基于分割后的元素数量来决定的。假设我们有 n 个元素：

第一层递归 ：将列表分成两部分，比较 2 个元素的时间是 n/2。
第二层递归 ：将每个部分再分成两部分，比较 4 个元素的时间是 n/4，每层的比较次数在减半。
第三层递归 ：再将每个部分分成两部分，比较 8 个元素的时间是 n/8，如此类推。

由于每次合并时所需的比较次数是与当前处理的元素数量成正比的，而总的递归层数是 log₂n （因为每次分割都减少一半），所以归并排序的总时间复杂度是 O(n log n) ，这比 O(n²) 要高效得多。

实际效果

通过这种分治法的递归方式，每一层的比较次数会逐渐减少，而在合并过程中，总的操作数仅与元素的数量成线性关系，远比传统的 n² 要好得多。因此，即使我们在最初的几步比较次数没有显著减少，随着递归的进行，效果会变得非常明显。

通过分治法，我们将问题不断分解，每次操作的规模减小，最终的总比较次数显著低于传统的排序方法。这种方法对于大规模的数据集合尤为有效，能极大地提升效率。

黑板：分治法算法是O(n log n)

使用这种分治法的排序方法，可以显著改善运行时间。传统的排序方法，如冒泡排序，通常需要 O(n²) 的时间复杂度，这意味着需要进行大量的比较。每次比较两个元素，可能需要对每一对元素都进行比较，导致比较次数随着元素数量的增加而急剧增加。

然而，在使用分治法（如归并排序）的情况下，时间复杂度就变成了 O(n log n) 。这种时间复杂度的含义是，首先对输入数据进行 log n 次分割，每次分割时仍然需要对数据的每个元素进行处理，也就是需要 n 次操作。因此，整个过程的时间复杂度是 n log n ，这比 O(n²) 要高效得多。

为什么是 O(n log n)？

分治策略 ：在归并排序中，首先将列表分成两部分。每一层分割都减少了需要处理的元素数目，但每次分割仍然需要遍历所有元素。因此，每次分割时的操作是线性的，即 O(n)。
递归层数 ：由于每次分割都把问题规模减半，递归的层数为 log n 。递归树的高度是对数级别的，通常表示为 log₂n，因为每次分割的规模是对半减少的。
综合时间复杂度 ：由于每一层递归需要做 O(n) 次工作，而递归的层数是 log n ，所以总的时间复杂度是 O(n log n)。

对比传统方法

如果采用传统的排序方法（例如冒泡排序），会有 O(n²) 的复杂度。每个元素需要和其他所有元素进行比较，总共有 n² 次操作。而在使用分治法后，递归的深度变得更浅，因此整体的操作次数大大减少，效率提升。

传统方法可以写成 O(n) * O(n) ，而分治法则将其中的 n 降低到了 log n ，因此可以从 O(n²) 改进为 O(n log n)。这种改进大大提高了排序的效率，尤其是在处理大量数据时，能够显著减少运行时间。

总结

通过分治法，原本需要进行 n² 次操作的排序任务，通过合理的分割和合并，减少到了 n log n 的复杂度。这个方法在处理大规模数据时尤其重要，因为它可以让排序的过程变得更加高效。

黑板：巩固归并排序算法的概念以及"动态编程"

通过改进排序方法，可以大大提高排序的效率。以冒泡排序为例，冒泡排序需要对所有元素进行两两比较，导致它的时间复杂度是 O(n²)，也就是需要做很多的比较，尤其是在数据量较大时，计算量会呈平方增长。

但是通过使用归并排序 （Merge Sort）这种分治法，我们能够显著减少运行时间。归并排序的核心思想是将大问题分解成小问题，每个小问题都能独立解决，最终将结果合并起来。这样做的好处是，归并排序的时间复杂度是 O(n log n) ，远比冒泡排序的 O(n²) 要高效得多。

归并排序的过程

分割阶段 ：首先，将待排序的列表分成两半，直到每个小列表只包含一个元素为止。这个过程就像是不断将大问题分解成小问题。对于16个元素的列表，最多会分裂 log₂16 = 4 次。
合并阶段 ：接着，将这些已分割的小列表逐步合并，每次合并时会对其中的元素进行比较，保证合并后的列表仍然是有序的。每次合并都涉及 n 次操作，合并的次数是 log n ，因此总的操作次数是 O(n log n)。

通过分治法，每次操作都处理较小的部分，而不是像冒泡排序那样每次都比较全部元素。这使得归并排序能够在 log n 次合并中完成对所有元素的排序。

比较归并排序和冒泡排序的效率

假设我们有一个包含16个元素的列表，使用冒泡排序时，最坏情况下需要进行 16² = 256 次比较。而采用归并排序时，最多只需要进行 16 * 4 = 64 次比较。明显，归并排序的效率远高于冒泡排序，特别是在处理大规模数据时，归并排序的优势更加明显。

为什么归并排序更有效？

归并排序通过重用已经排序好的部分，避免了重复的比较。每次合并时，程序已经知道哪些元素是有序的，因此可以减少不必要的比较。这种重用已经排序的部分是归并排序效率高的一个关键原因。

这种优化方法与动态规划中的思想相似，动态规划也是通过重用之前计算过的结果来优化问题的求解。归并排序正是通过这种分治法和重用结果的方式，比冒泡排序等简单排序算法更加高效。

总结

归并排序的核心优势在于其 O(n log n) 的时间复杂度，而冒泡排序的时间复杂度是 O(n²)。通过分治法将大问题分解为小问题，并且每次合并时利用已排序的部分，归并排序能够大大减少需要进行的比较次数，尤其在处理大量数据时，能够显著提高排序效率。因此，归并排序是比冒泡排序更高效的选择，特别是数据量增大时，性能差距更加明显。

问答环节

NP代表非确定性多项式。还有其他一些小问题。否则做得很好

我们在讨论非确定性多项式时间（NP）时，意识到在某些情况下可以进行修正。例如，若我们更改某些术语，别人可能并不会察觉到这种细微的调整，因此这种调整是可以接受的。然而，仔细思考后，发现如果我们真正处于MP（多项式时间问题类）中，应该能够完全确定结果，这样才符合其应有的含义。

实际上，非确定性多项式时间（Nondeterministic Polynomial Time）是一个更合适的描述方式，因为它明确表明了"我们不知道"的事实，这一"不确定"被清晰地体现在名称中，这使得它比某些其他的表述更具逻辑性和准确性。

不过，问题在于，当我们不能使用"MP"时，如何准确地表达非多项式的概念。如果"MP"表示的是非确定性多项式时间，那么该如何表达我们曾讨论过的那些概念呢？难道就不能表达吗？显然是可以的，但在这种情况下，我们可能需要重新思考如何用一种简洁且准确的方式来表述这些复杂的计算问题。

@顺便说一下，我之前关于Rust的评论不是认真的。而且，归并排序不是n*log(n)吗？

我们之前提到的关于罗素传感器的评论，实际上和归并排序（Merge Sort）有关，归并排序的时间复杂度确实是 O(n log n)。这是我们正在讨论的那个归并排序。我们确认它的时间复杂度是 O(n log n)，这也正是我们之前所提到的内容。

归并排序通过将数据分成两半并递归地排序每一部分，最终合并它们，整个过程在每次分割时都会进行 O(log n) 次合并操作，而每次合并操作的时间复杂度是 O(n)。因此，归并排序的总体时间复杂度为 O(n log n)，这也是归并排序的标志性特点。

@所以，单元测试一个计算旅行商问题路径的函数需要写两遍算法，第二个测试第一个吗？

在进行单元测试时，如果我们要测试一个计算旅行商问题（TSP）路径的函数，就需要进行非常繁琐的操作。实际上，测试一个函数的输出，可能需要写出两倍于第二个测试的代码，来验证第一个测试的正确性。

遗憾的是，旅行商问题并没有已知的多项式时间验证器。换句话说，无法通过简单的多项式时间算法来验证结果的正确性。因此，我们无法像其他问题那样，轻松地测试它的结果是否正确。

要验证旅行商问题的解，我们不仅仅依赖一个单独的测试，而是需要依赖更多的测试，甚至可能需要通过一些非常复杂的方法来确保测试结果的有效性。总的来说，目前对于旅行商问题，似乎没有简单、有效的解决方案能够帮助我们直接验证其结果的正确性。

你认为计算机科学专业是一个不错的选择吗？我现在在学这个

关于计算机科学专业是否是一个好的发展路径，这取决于个人的兴趣。如果我们对计算机科学的各个领域感兴趣，特别是算法、数据结构、复杂性理论等，选择计算机科学专业肯定是一个不错的决定。不同的人对这个领域的兴趣和目标不同，因此选择是否适合自己的道路需要根据个人的兴趣和长远的职业规划来决定。

关于非多项式时间的问题，如果我们想要讨论非多项式时间的概念，而不提及非确定性多项式时间（Nondeterministic Polynomial Time），目前似乎并没有一个普遍认可的缩写。我们不能简单地用"Q P"或者其他类似的缩写来表示"非多项式时间"。如果想要准确地表达这个概念，还是必须直接说"非多项式时间"（Non-Polynomial Time）。目前，计算机科学中似乎没有一个简洁的方式来用缩写代替这个表达。

要说某个问题无法在多项式时间内解决，只需说"这个问题不在P中"

我们在讨论关于计算复杂度的问题时，澄清了一些概念。首先，P类问题指的是可以在多项式时间内解决的问题，这一概念是固定的，不会改变。NP类问题则指的是非确定性多项式时间问题，这意味着这些问题的解是否在多项式时间内能被验证，我们并不确定。

在讨论时，我们误用了"MP"这一术语，实际上我们想表达的是"不在P类中"的问题。这些问题通常会涉及到复杂度为2的n次方等，这类问题在目前看来不属于P类问题。因此，我们应该避免使用"MP"来描述这些问题，而应该直接说"不在P类中"。

同时，我们还讨论了是否存在一个简洁的缩写来表示"不在P类中的问题"，例如我们可以用"nymph"这个词来代替，但这并不是一个广泛使用的术语，而是个人的一种提议。最终，我们意识到，若要准确地表达这些问题，还是需要明确地说出"不在P类中"。

对于像旅行商问题这类问题，我们仍然无法确定其是否属于P类问题，因此我们只能够说它"不在P类中"。经过这些讨论，大家对这些概念有了更清晰的认识，也帮助我们避免了继续使用错误的术语。

有人确凿证明了旅行商问题不能在P中吗，还是说它依然可能是NP难题？

关于旅行商问题，我们仍然没有一个确凿的证明来表明它是否不属于P类问题。旅行商问题是否属于P类问题，或者它是否是NP完全问题，依然没有明确的结论。虽然我们知道旅行商问题没有已知的多项式时间解决方案，也没有找到多项式时间的验证器，但这并不意味着它已经被证明一定不在P类中。

目前，旅行商问题被认为是一个非常困难的问题，它属于NP困难问题，但并没有证明它是NP完全的。事实上，我们还不能确定它是否完全不属于P类，只是目前没有找到一个多项式时间的解决方案，也没有找到可以验证其解的多项式时间方法。因此，旅行商问题仍然处于一个不确定的状态。

总结来说，虽然旅行商问题被认为是一个非常难解的问题，且没有找到有效的多项式时间算法来解决它，但我们并没有证明它绝对不在P类中，或者它是否完全属于NP完全问题。它仍然是一个开放的难题，可能会随着未来的研究而有更多的进展。

TSP是NP完全的，所以它也在NP中，因此确实有一个多项式验证器

有些人认为旅行商问题是NP完全问题，这意味着，如果有人能够找到一种方法，用多项式时间解决所有NP完全问题，那么旅行商问题也可能在多项式时间内被解决。虽然目前我们没有找到一个多项式时间的验证器，也没有找到一个已知的多项式时间算法来解决旅行商问题，但如果能够解决NP完全问题，那么旅行商问题也有可能在同样的时间复杂度下得到解决。

换句话说，即使目前没有找到旅行商问题的多项式时间验证器，理论上如果能够找到一种方法来解决NP完全问题，也可能间接证明旅行商问题可以在多项式时间内解决。这让旅行商问题的解决仍然充满潜力，尽管目前我们还没有找到有效的解决方案。

@他们证明了它没有P验证器吗？

有一个问题是关于旅行商问题是否已经证明没有多项式时间的验证器（P验证器）。我们目前没有明确的证明来表明旅行商问题一定没有多项式时间的验证器。尽管之前大家讨论过，旅行商问题是否有P验证器仍然没有定论，因此希望能有更多的计算机科学专家提供清晰的解释，解答这个问题。

此外，关于最短路径问题的讨论也提出了一个有趣的观点：最短路径问题与寻找特定长度路径的问题是不同的。虽然理论上可以通过遍历所有路径来找到最短路径，但这种转换方法可能并不总是有效。因此，找到不同类型路径问题的解决方案，尤其是与旅行商问题相关的，依然是一个值得深入探讨的难题。

总体来说，大家都希望有更多关于旅行商问题的信息，尤其是是否已经找到其P验证器的问题。如果有计算机科学专家能分享相关的信息，将非常有帮助。这个话题值得进一步讨论，也许未来会有新的进展。

这取决于我们究竟讨论的是哪种TSP问题

似乎我创造了一个问题，因为大家不清楚我们讨论的是哪种旅行商问题，原来旅行商问题是有不同版本的，这也挺有趣的。对于这个问题的不同理解，大家似乎并没有达成一致，这让我有些担心，特别是当我觉得一些人是计算机科学领域的人时，他们对旅行商问题的看法仍然存在分歧。

这让我觉得，明天的讨论可能就应该专门花十分钟来彻底讲解旅行商问题，帮助大家统一一下理解。

说某个问题是"NINPY"不会意味着P ≠ NP吗？（我们赢得了一百万美元的奖金吗？）

关于"nimby"这个术语，是否意味着P不等于NP的问题，似乎并没有明确的结论。我们并没有因此赢得一百万美元的奖励，因为这仍然是一个开放的、未解决的问题。

我承认这方面的内容超出了我的专业范围，因此我希望能够将这个问题引导给那些更了解这个话题的专家。如果想深入了解这些问题，最好去找一些专业的资源来进一步学习和探索。

黑板："在P中"/"不在P中"与"NP完全"

关于P和非P的问题，关键的区别在于是否能够证明某个问题不能在多项式时间内解决。我们知道P类问题是那些能够在多项式时间内解决的问题，而非P类问题则是那些我们无法确定是否能在多项式时间内解决的问题。问题的复杂性在于，我们可能能够证明某些问题不可能在多项式时间内解决，但这对于特定的问题来说并不一定成立。

举个例子，假设我们创造一个非常复杂的虚拟问题，如果我们能够证明这个问题根本无法在多项式时间内解决，那么我们就能说它不属于P类。这种证明的过程非常复杂，但理论上是可能的。例如，假设我们有一个问题，要求对从1到2的n次方的所有数进行排序，显然这无法在多项式时间内完成，因此它不属于P类。但这种例子可能并不完全有效，因为我们可能会对这种问题提出不同的解决方案。

对于更复杂的情况，尤其是NP完全问题，我们目前还无法证明这些问题是否可以在多项式时间内解决。我们也无法证明它们不在P类中，因此这些问题处于一个"悬而未决"的状态。实际上，虽然很多人认为最终会证明这些问题不在P类中，但目前尚未有任何人成功地给出明确的证明。

总的来说，P和非P的问题并不是完全独立的，而是有一个难以证明的灰色地带。对于NP完全问题，虽然我们无法确定它们是否属于P类，但也无法证明它们一定不属于P类，依然存在很多未解的难题。

想法：游戏应该包括一个旅行商，他在思考这些问题...

有建议提出游戏中应该包含旅行商问题。我同意这个提议。

我们会深入讨论更复杂的排序算法吗，比如基数排序？另外，归并排序的空间要求是否需要在game中考虑？

讨论是否会涉及更复杂的排序算法，比如基数排序（radix sort）。对于游戏角色的实现来说，合并排序（merge sort）的空间需求是否需要考虑。由于游戏本身有足够的空间，合并排序的空间需求可能不需要特别担心。

关于基数排序，虽然它在某些特定情况下非常高效，但它并不是通用的排序算法。基数排序有一些特殊的前提条件，要求输入数据满足某些特定的要求，这使得它难以用于除特定数字类型之外的其他数据排序。因此，基数排序可能并不适合所有情况，尤其是在处理浮点数时，基数排序可能并不那么有用。

既然你没上大学，那你是什么时候开始对大O感兴趣或者开始学习的？

在没有上大学的情况下，第一次接触到大O表示法（Big O Notation）和相关的算法知识大约是通过一本书《算法导论》。这本书详细介绍了各种算法，比如排序算法、并查集森林等内容，并且深入探讨了这些问题。通过阅读这本书，虽然理解了一些基本概念，但大多数内容依然是非常基础的，只是对一些常见的算法复杂度有了一些初步的了解，比如最坏情况的时间复杂度。

但是，关于非确定性多项式时间（Non-deterministic Polynomial Time）这类更复杂的内容，虽然感兴趣，但由于没有深入研究，所以并不熟悉相关的细节和具体的算法。对于哪些问题属于NP完全，或者如何在这些问题之间做映射，也并没有深入的理解。知道这些问题是很酷的，但具体的证明过程和详细的知识并没有掌握过多，因此对这些更高级的计算机科学内容的了解非常有限。

我不确定除非是不可判定的，或者我们能证明P ≠ NP，否则我们能证明某个问题不在P中

关于是否能够证明某个问题不在P类中，似乎只有在证明P不等于NP的前提下，才有可能证明某个问题不在P类中。这个观点有一定的道理，因为如果能够证明P不等于NP，那么就可以推断出一些问题无法在多项式时间内解决。

然而，我对这些问题并没有深刻的理解。计算机科学的知识非常庞大和复杂，很多高级内容仍然不太了解，所以对于这些问题的具体细节和证明过程并不清楚。

顺便说一下，8^2不等于16

讨论中提到，8的平方不等于16，这让人意识到早些时候的计算可能出了问题。由于快速的数学错误，原本不需要做那么多的步骤，结果本来不需要如此复杂。问题一旦变得复杂，特别是涉及到平方运算时，增长的速度很快，算法也变得危险。

接着提到，算法尤其是平方算法很容易出错，可能会导致问题迅速变得复杂且难以处理。这是非常明显且令人担忧的。因此，虽然有很多计算机科学方面的兴趣和讨论，特别是关于能否证明某个问题是否在P类中，但在此讨论中也涉及到如何向观众提供更清晰、直观的学习资源。目标是找到一种方式，能够将复杂的内容解释得既简单又清晰，帮助那些有兴趣了解的人能够快速掌握基础，而不用深入到复杂的数学原理中。

这意味着，很多人可能都在寻找一个好的资源，能让他们以简单易懂的方式了解P与NP等复杂的计算机科学概念，而不是仅仅去阅读那些内容繁琐且难以理解的学术文章或维基百科。希望能有一个非常直观且经过充分讲解的介绍资料，能够帮助这些有好奇心的人更容易理解这些抽象的概念，进而激发更多人去探索计算机科学中的这些有趣但复杂的问题。

我今晚将翻看一下我的《计算机与不可解问题》一书，作者是Gary和Johnson

今晚，我们计划翻阅一本关于计算机科学与难解性的重要书籍。书中的内容涉及到计算复杂性理论及其对计算机科学领域的深远影响。该书详细讨论了 NP 完全问题、图论、算法设计等关键主题，以及如何评估一个问题是否可以高效地求解。通过阅读这本书，我们能够更好地理解计算问题的复杂性，尤其是那些我们至今无法找到高效解决方案的难题。

这本书的核心在于探索那些难以解决的计算问题，并对其进行分类。特别是对 NP 问题的深入剖析，它不仅阐明了这些问题的本质，还提供了不同的解法和逼近方法。同时，它强调了在某些情况下，虽然我们无法找到最优解，但可以找到近似解，或者是某些特定条件下的解法。

通过今晚的阅读，我们希望能够深入掌握这些基础理论，理解为什么某些问题几乎无法通过常规计算手段来解决，进而掌握解决这些问题的理论框架和算法思维。

嗯，第一句话就有"异想天开"这词，感觉还不错

今晚我们决定观看一个关于算法和计算复杂性的介绍视频。视频内容涉及《算法导论》一书中讨论的核心概念，尤其是计算复杂性这一领域。计算复杂性是计算机科学中的一个重要分支，研究不同问题的求解难度，并将问题分为不同的复杂性类别。这本书深入探讨了各种算法的设计与分析方法，同时也讨论了如何评估一个问题是否可以高效解决。

观看这个视频的目的是进一步加深对这些理论的理解，尤其是计算复杂性与算法效率之间的关系。通过视频，我们可以获得对问题求解的更深入的认识，了解哪些问题可以在合理的时间内找到解，而哪些问题由于其高复杂性，可能需要非常长的时间来解决。

视频中还会介绍一些算法的基本技巧和策略，例如分治法、动态规划、贪心算法等，帮助我们在实际应用中选择合适的算法来解决问题。通过今晚的观看，我们希望能够更好地理解算法背后的理论基础，以及如何在实际中运用这些理论来优化解决方案。