蓝桥杯二进制问题刷题笔记

谦川2025-04-21 9:50

存入N的二进制每一位作为基准数组算出方案数

从高位往低位用dfs枚举每一位是放1还是放0

复制代码

#include<iostream>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;

ll dp[65][65];
ll num;
ll k;
vector<ll> vec;

ll cal(ll n,ll k){
    if(dp[n][k]) return dp[n][k]; //记忆化搜索 如果已经处理过 直接返回C(n,k) 
    if(n==k) return 1;//C(n,n) = 1;
    if(k==0) return 1;//C(n,0) = 1;
    if(n<k) return 0;//n不够位置给K放 直接返回 0 
    return dp[n][k]=cal(n-1,k-1)+cal(n-1,k);
	//n里面选k个位置放1  等于当前位置放1 + 当前位置不放1 的方案数的总和 递归计算 
}


ll dfs(int pos,int last){
	//last 已经放置的K的个数
	//pos当前处理到哪一位了
	 
    //出口 
    if(last==k) return 1;
    if(pos<0||last>k)return 0;
    ll res=0;
    if(vec[pos]==1){
    	//如果当前位置为 1 可以选择放 1 或者放 0  
        res+=cal(pos,k-last);  // 如果选则放0 还剩下pos个位置 （初始一共pos+1个位置 0 到pos） 
		// 这pos个位置随意选k-last个1 所以直接用组合数加上 
        res+=dfs(pos-1,last+1);//当前位置放1 处理下一位 
    }
    else res+=dfs(pos-1,last);//当前位置不为1，保持与原数二进制相等 继续处理下一位 
    
    return res;
}
 



int main(){
    scanf("%lld %d",&num,&k);
    while(num){
        vec.push_back(num%2);
        num/=2;
    }
   
   
//vec.size()  二进制的位数 
//vec.size()-1 最高位的索引 
    cout<<endl;
    
    ll ans=dfs(vec.size()-1,0);
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

cal函数的可以算出组合数的原因来自于杨辉三角

由顶层的1 可以加出下面的组合数

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