[图论]Prim - 技术栈

Prim

本质：BFS+贪心，对点进行操作。与最短路Dijkstra算法是"孪生兄弟"。
存储结构：链式前向星
适用对象：可为负权图，可求最大生成树
核心思想：最近的邻接点一定在最小生成树(MST)上，对点的最近邻接点贪心。
算法流程：设源点 s s s(任意点)，MST已选点集 { S } \set{S} {S}(初始 { S } = ∅ \set{S}=\varnothing {S}=∅)；各点当前到已选点集 { S } \set{S} {S}的最小边权 { d i s } \set{dis} {dis}(初始 { d i s } \set{dis} {dis}：非 s : + ∞ s:+\infty s:+∞,表示该点目前不可达； s = 0 s=0 s=0)；当前MST方案数组 t r e e tree tree(存储其上个源点,初始化为 − 1 -1 −1表示无方案)，待算法结束后极为最终方案；当前轮起点 U U U， U U U邻接点集 { V } \set{V} {V}，邻接点权值集 { W } \set{W} {W}。
循环执行下列步骤，直到点集 { S } \set{S} {S}包含所有顶点，或剩余点无法进入 { S } \set{S} {S}：
1. 考查最近顶点 (贪心)：从全体点集中，找出先前不在 { S } \set{S} {S}中(未被考查)且距点集 { S } \set{S} {S}最近 ( d i s dis dis最小)的顶点，作为当前轮起点 U U U(首次即为源点 s s s)，将其进入 { S } \set{S} {S}(考查顶点 U U U)
2. 扩散邻接点 (BFS扩散)：扩散 U U U的邻接点且先前未被考查的顶点 V V V，检查是否能通过 U U U而使其距点集 { S } \set{S} {S}更短( d i s dis dis更小)。若更短，则更新该点 d i s dis dis，并更新路径： d i s [ V ] = m i n ( d i s [ V ] , W ) dis[V]=min(dis[V],W) dis[V]=min(dis[V],W), t r e e [ V ] = U tree[V]=U tree[V]=U
Prim算法与最短路算法Dijkstra是"孪生兄弟"。与Dijkstra不同之处在于更新操作中，Prim为更新为所有点到 { S } \set{S} {S}整体的距离(即 d i s [ V ] = m i n ( d i s [ V ] , W ) dis[V]=min(dis[V],W) dis[V]=min(dis[V],W))；而Dijkstra为更新所有点到 { S } \set{S} {S}中特定一点 (源点 s s s)的距离(即 d i s [ V ] = m i n ( d i s [ V ] , d i s [ U ] + W ) dis[V]=min(dis[V],dis[U]+W) dis[V]=min(dis[V],dis[U]+W))。
复杂度：朴素版 O ( V 2 ) O(V^2) O(V2)，二叉堆优化版 O ( V log ⁡ 2 E ) O(V\log_2E) O(Vlog2E)

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using ll=long long;
using pll=pair<ll,ll>;
const ll INF=__LONG_LONG_MAX__;
ll n,m,s;//点数,边数,源点
struct vertex{
    int e=-1;
}v[n];
struct edge{
    int u,v,w,n=-1;
}e[m];

注：若无特殊说明，本文默认顶点均为从0起编号。

朴素版

选目前 d i s dis dis最小点 U U U的3个条件:该点未被考查,该点 d i s dis dis非无穷,该点 d i s dis dis更小
扩散至 U U U邻接点 V V V的3个条件:该邻接点未被考查,边权值 W W W非无穷, V V V通过 U U U而使 d i s dis dis更短

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int prim() {
    vector<bool>S(n,0);
    vector<ll>dis(n,INF),tree(n,-1);
    ll s=0,ans=0;
    dis[s]=0;
    for (int j=0;j<n;j++){
        ll U=-1,minn=INF;
        for(ll i=0;i<n;i++)
            if(!S[i]&&dis[i]!=INF&&dis[i]<minn) U=i,minn=dis[i];
        if(U==-1) return -1;//剩余点均不可达,不存在MST
        S[U]=1;
        ans+=dis[U];
        for (ll i=v[U].e;~i;i=e[i].n){//~i:i!=-1
            ll V=e[i].v,W=e[i].w;
            if (!S[V]&&W!=INF&&dis[V]>W)//与Dijkstra唯一不同点
                dis[V]=min(dis[V],W),tree[V]=U;
        }
    }
    return ans;
}

若求最大生成树： d i s dis dis应初始化为 − ∞ -\infty −∞；找 d i s dis dis最大顶点；更新条件改为 d i s [ V ] < W dis[V]<W dis[V]<W。

二叉堆优化版

优化点：另设顶点的小根堆 Q Q Q，其结构为 { d i s , i n d e x } \set{dis,index} {dis,index}，可动态维护当前 d i s dis dis最小点 U U U。

另设计数器 c n t cnt cnt，若 c n t < V cnt<V cnt<V，则证明是非连通图，无法构成MST。

选目前 d i s dis dis最小点 U U U的3个条件:该点未被考查,该点 d i s dis dis非无穷,该点 d i s dis dis更小。
扩散至 U U U邻接点 V V V的3个条件:该邻接点未被考查,边权值 W W W非无穷, V V V通过 U U U而使 d i s dis dis更短

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int prim() {
    vector<ll>dis(n,INF),tree(n,-1);
    vector<bool>S(n,0);
    priority_queue<pll,vector<pll>,greater<>>pq;
    int ans=0,cnt=0,s=0;
    dis[s]=0,pq.push({dis[s],s});//dis,index
    while(pq.size()){
        ll U=pq.top().second;pq.pop();
        if(S[U]) continue;
        S[U]=1,ans+=dis[U],cnt++;
        for(ll i=v[U].e;~i;i=e[i].n){//~i:i!=-1
            ll V=e[i].v,W=e[i].w;
            if(!S[V]&&W!=INF&&dis[V]>W){//与Dijkstra唯一不同点
                dis[V]=W,tree[V]=U;
                pq.push({dis[V],V});
            }
        }
    }
    if(cnt<n) return -1;
    return ans;
}

若求最大生成树： d i s dis dis应初始化为 − ∞ -\infty −∞；维护大根堆；更新条件改为 d i s [ V ] < W dis[V]<W dis[V]<W。