计算机图形学学习指南

一、概述

计算机图形学是计算机科学与技术专业的关键限选课，主要研究图形显示及表示的原理与方法。在计算机绘画、动画、游戏设计、虚拟现实等领域，它都发挥着重要作用。其核心在于探索如何在计算机中表示图形，以及进行图形计算、处理和显示的原理与算法。图形由点、线、面、体等几何元素，以及灰度、色彩、线型等非几何属性组成。计算机图形学的目标是生成逼真的图形，这需要构建场景几何表示，并利用光照模型计算特定光源、纹理和材质下的光照效果。其研究范畴广泛，包括图形硬件、标准、交互技术，以及光栅图形生成、曲线曲面造型等众多方向。

二、学习目标

通过本课程的学习，学生需掌握计算机图形应用的基础原理和特殊处理方法，熟悉图形领域的分析、建模及程序设计知识，能够针对实际问题提供合适的模型与解决方案，提升运用计算机分析和解决问题的实践能力。

三、学习资料

（一）教材

《计算机图形学（第四版）》，Donald Hearn 等著，电子工业出版社。该书系统全面地介绍计算机图形学的基本概念、算法和技术，涵盖从基础图形生成到复杂场景渲染内容，配备丰富示例和习题，适合初学者。

《交互式计算机图形学：基于 OpenGL 的自顶向下方法（第七版）》，Edward Angel 等著，机械工业出版社。以 OpenGL 为工具，通过大量实例讲解交互式图形学，有助于读者掌握图形编程技能。

（二）在线课程

Coursera 上的 "Computer Graphics" 课程，由知名高校教授授课，提供视频教程、作业和项目实践，深入讲解核心概念和算法。

中国大学 MOOC 平台上的 "计算机图形学" 课程，由国内高校优秀教师团队讲授，结合国内教学特点和案例，梳理知识体系。

（三）学术论文与研究报告

ACM SIGGRAPH 会议论文集，是计算机图形学领域顶尖会议成果，能让学习者了解前沿研究动态。

IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 期刊，发表大量高质量论文，涵盖图形学各研究方向，便于深入研究特定领域问题。

四、学习大纲

（一）基础数学知识复习（可根据学生基础安排自学或简要讲解）

向量运算

- 向量加法、减法、数乘：向量相加是对应坐标相加，如向量 a (x1, y1, z1) 与向量 b (x2, y2, z2) 相加，结果为 (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ；减法类似，数乘是向量每个坐标与数相乘。

- 向量点积与叉积：点积结果是两向量模长与夹角余弦值的乘积，用于计算向量投影等；叉积结果是一个向量，其方向垂直于原两向量所在平面，常用于求平面法向量等。

矩阵运算

- 矩阵加法、减法、乘法：同型矩阵对应元素相加减；矩阵乘法要求前一矩阵列数等于后一矩阵行数，新矩阵元素由对应行和列元素相乘再相加得到。

- 矩阵的逆与转置：方阵 A 若存在矩阵 A⁻¹，使 AA⁻¹ = A⁻¹A = I（单位矩阵），则 A⁻¹ 为 A 的逆矩阵；矩阵 A 的转置 AT，是将 A 的行列互换。

几何变换基础

- 平移变换：在坐标上加上平移向量实现。点 P (x, y) 沿 x 轴平移 tx，沿 y 轴平移 ty，变换后的点 P'(x + tx, y + ty) 。

- 旋转变换：绕某点旋转一定角度。以绕原点旋转 θ 角为例，二维点 P (x, y) 变换后的点 P'(x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ) 。

- 缩放变换：对坐标进行比例缩放。点 P (x, y) 在 x 方向缩放 sx，在 y 方向缩放 sy，变换后的点 P'(x * sx, y * sy) 。

（二）基本图形生成算法

直线生成算法

- 数值微分法（DDA） ：一个方向坐标取单位步长变化，计算另一方向坐标相应变化值。当直线斜率绝对值小于 1 时，x 每次增加 1，y 增加斜率值；斜率绝对值大于等于 1 时，y 每次增加 1，x 相应变化。该算法直观但涉及浮点数运算，效率较低。

- Bresenham 画线算法：通过误差项判断选择与实际直线更接近的像素点。每一步根据误差项决定 y 坐标是否增加，仅用整数运算，效率高。

- 代码示例（JavaScript 实现 Bresenham 画线算法）

js 复制代码

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Bresenham Line Drawing</title>
</head>
<body>
  <canvas id="canvas" width="800" height="600"></canvas>
  <script>
    function bresenhamLine(x0, y0, x1, y1) {
      const canvas = document.getElementById('canvas');
      const ctx = canvas.getContext('2d');
      let dx = Math.abs(x1 - x0);
      let dy = Math.abs(y1 - y0);
      let sx = x0 < x1? 1 : -1;
      let sy = y0 < y1? 1 : -1;
      let err = dx - dy;
      while (true) {
        ctx.fillRect(x0, y0, 1, 1);
        if (x0 === x1 && y0 === y1) break;
        let e2 = 2 * err;
        if (e2 > -dy) {
          err -= dy;
          x0 += sx;
        }
        if (e2 < dx) {
          err += dx;
          y0 += sy;
        }
      }
    }
    bresenhamLine(100, 100, 500, 300);
  </script>
</body>
</html>

圆生成算法

- 中点画圆算法：基于圆的对称性，仅计算 1/8 圆弧，再通过对称得到整个圆。从 (0, R) 开始，每次根据中点与圆的位置关系决定下一个点。若中点在圆内，选右方点；若在圆外或圆上，选右下方点。

- Bresenham 画圆算法：通过误差项决定选择距离理想圆周最近的点。从 (0, R) 开始，根据误差项的值决定下一个点的选择。

- 代码示例（JavaScript 实现中点画圆算法）

js 复制代码

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Midpoint Circle Drawing</title>
</head>
<body>
  <canvas id="canvas" width="800" height="600"></canvas>
  <script>
    function midpointCircle(radius, xc, yc) {
      const canvas = document.getElementById('canvas');
      const ctx = canvas.getContext('2d');
      let x = 0;
      let y = radius;
      let d = 1 - radius;
      while (x <= y) {
        ctx.fillRect(xc + x, yc + y, 1, 1);
        ctx.fillRect(xc - x, yc + y, 1, 1);
        ctx.fillRect(xc + x, yc - y, 1, 1);
        ctx.fillRect(xc - x, yc - y, 1, 1);
        ctx.fillRect(xc + y, yc + x, 1, 1);
        ctx.fillRect(xc - y, yc + x, 1, 1);
        ctx.fillRect(xc + y, yc - x, 1, 1);
        ctx.fillRect(xc - y, yc - x, 1, 1);
        if (d < 0) {
          d += 2 * x + 3;
        } else {
          d += 2 * (x - y) + 5;
          y--;
        }
        x++;
      }
    }
    midpointCircle(100, 400, 300);
  </script>
</body>
</html>

多边形填充算法（扫描线填充算法）

- 原理：按扫描线顺序，计算扫描线与多边形边的交点，将交点按 x 坐标排序，两两配对，填充配对交点之间的像素。

- 实现步骤

- - 构建边表（ET）：存储多边形每条边的端点、斜率、与扫描线初始交点等信息。

- - 初始化活性边表（AET）：存储当前扫描线与多边形相交的边。

- - 逐行扫描：从多边形最小 y 值扫描到最大 y 值，更新 AET，对 AET 中的边按 x 坐标排序，配对交点并填充区域。

- 代码示例（JavaScript 实现简单扫描线填充算法，假设多边形顶点按顺时针或逆时针顺序存储）

js 复制代码

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Scanline Fill</title>
</head>
<body>
  <canvas id="canvas" width="800" height="600"></canvas>
  <script>
    function scanlineFill(polygon) {
      const canvas = document.getElementById('canvas');
      const ctx = canvas.getContext('2d');
      let minY = Math.min(...polygon.map(p => p[1]));
      let maxY = Math.max(...polygon.map(p => p[1]));
      let edgeTable = {};
      for (let i = 0; i < polygon.length; i++) {
        let p1 = polygon[i];
        let p2 = polygon[(i + 1) % polygon.length];
        if (p1[1] > p2[1]) {
          [p1, p2] = [p2, p1];
        }
        if (p1[1]!== p2[1]) {
          let m = (p2[0] - p1[0]) / (p2[1] - p1[1]);
          for (let y = p1[1]; y <= p2[1]; y++) {
            let x = p1[0] + (y - p1[1]) * m;
            if (!edgeTable[y]) {
              edgeTable[y] = [];
            }
            edgeTable[y].push(x);
          }
        }
      }
      for (let y = minY; y <= maxY; y++) {
        if (edgeTable[y]) {
          edgeTable[y].sort((a, b) => a - b);
          for (let i = 0; i < edgeTable[y].length; i += 2) {
            let x1 = Math.floor(edgeTable[y][i]);
            let x2 = Math.floor(edgeTable[y][i + 1]);
            for (let x = x1; x <= x2; x++) {
              ctx.fillRect(x, y, 1, 1);
            }
          }
        }
      }
    }
    let polygon = [[200, 200], [300, 100], [400, 200], [300, 300]];
    scanlineFill(polygon);
  </script>
</body>
</html>

这份指南结合 JavaScript 实现图形算法，更便于在多种场景使用。若你还想添加其他内容，如进阶算法、案例拓展，欢迎随时告诉我。