仙人掌生成器

背景

网上找不到正确生成仙人掌的 gen，唯一的一篇似乎是错误的，所以手写一篇。

仙人掌的定义

仙人掌：任意一条边最多出现在一个简单环中的无向连通图。

生成算法

给定 \(n\) 作为仙人掌结点数。先随机生成一棵树，作为目标仙人掌的一棵 dfs 树，这保证了图连通这一条件，接下来要做的就是不断往这棵树上加非树边，同时满足「任意一条边最多出现在一个简单环中」这一限制条件。可选地，我们可以限制边数上界。

考虑 dfs 这棵树，当前在 \(u\)，尝试添加一条以 \(u\) 为上端点的非树边，那么下端点 \(v\) 需要满足：\(u\rightarrow v\) 路径上的树边均未被环包含。于是我们可以在 dfs 的时候 return 出一个 \(v\)，作为未来可能作为下端点的点。

\(u\) 的初始返回值就是其本身。考虑 dfs 完 \(u\) 的一个孩子 \(v\)，返回值为 \(t\)，我们有一定概率用 \(t\) 替换 \(u\) 的返回值，如果不作为范围值，有一定概率尝试将 \(u,t\) 之间加一条非树边。

另外，我们可以在此基础上进行适当扩展，例如，要求环必须全都是奇环，要求不能有重边。注意，在允许重边的前提下，重边的个数不能超过 \(2\) 条。

算法分析

该算法的时间复杂度为：\(\mathcal{O}(n+m)\)。

虽然该算法不能保证等概率地，在所有 \(n\) 个结点的仙人掌中，随机选择一棵仙人掌，但是作为对拍的 gen 已经足够了。

代码实现

使用 C++ 实现，请使用 C++14 及以上版本编译。

支持修改随机数种子（默认为当前时间戳）、是否允许重边、是否只允许奇环、点数、边数上界（默认为 \(-1\) 即不限制）。

将生成的仙人掌输出到标准输出流，额外的信息、错误信息输出到标准错误流。程序返回值为 \(0\) 表示生成成功。

输出格式：第一行两个以空格分隔的整数 \(n,m\)，分别表示仙人掌的结点数、边数；接下来 \(m\) 行表示仙人掌的边。

cpp 复制代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>
#include <chrono>
using namespace std;

/* =========== Parameter =========== */

const int SEED = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();

bool multiedge = false;
bool onlyOddCircle = false;

int n = 1000000;
int m_limit = -1;  // -1 for not limit

/* =========== Parameter =========== */

void _err(const char* msg, int lineNum) {
    fprintf(stderr, "Error at line #%d: %s\n", lineNum, msg);
    exit(1);
}
#define err(msg) _err(msg, __LINE__)

inline int rand(int l, int r) {
    static mt19937 rnd(SEED);
    if (l > r) err("invalid range");
    return l + rnd() % (r - l + 1);
}

vector<pair<int, int>> edges;
vector<vector<int>> son(n, vector<int>());
vector<int> dpt(n);

int dfs(int u) {
    int res = u;
	int cnt = 0;
    for (size_t i = 0; i < son[u].size(); ++i) {
        int v = son[u][i];
		dpt[v] = dpt[u] + 1;
        int t = dfs(v);
        if (rand(0, son[u].size()) == 0)
            res = t;
        else if ((t != v || (multiedge && cnt < 2))
                && ((dpt[t] - dpt[u] + 1) % 2 == 1 || !onlyOddCircle)
                && (m_limit == -1 || (int)edges.size() < m_limit))
            edges.emplace_back(u, t), cnt += t == v;
    }
    return res;
}

signed main() {
    // freopen("yzh", "w", stdout);
    
    if (n < 1) err("n shouldn't be less than 1");
    if (m_limit != -1 && m_limit < n - 1)
        err("m_limit shouldn't less than n-1");
    
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int fa = rand(0, i - 1);
        edges.emplace_back(fa, i);
        son[fa].emplace_back(i);
    }
    dfs(0);
    
    for (size_t i = 1; i < edges.size(); ++i)
        swap(edges[i], edges[rand(0, i)]);
    
    printf("%d %d\n", n, (int)edges.size());
    for (size_t i = 0; i < edges.size(); ++i) {
        int u = edges[i].first;
        int v = edges[i].second;
        if (rand(0, 1)) swap(u, v);
        printf("%d %d\n", u + 1, v + 1);
    }
    
    fprintf(stderr, "Success!\n");
    fprintf(stderr, "n = %d, m = %d\n", n, (int)edges.size());
    fprintf(stderr, "circle = %d\n", (int)edges.size() - (n - 1));
    return 0;
}

Checker

写了一个程序用来验证 gen 的正确性。使用并查集判断连通性、dfs 序求 \(\operatorname{lca}\)、差分完成树链覆盖。时间复杂度是 \(\mathcal{O}(m+n\log n)\) 的，尽管可以优化到线性 \(\mathcal{O}(n+m)\)。

支持修改是否检查仅允许奇环。

从标准输入流读入图，程序返回值为 \(0\) 表示图为仙人掌。