【2025牛客五一集训派对day4 C】题解

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题目大意

给定 N N N 个字符串，问怎么拼接使得组成的整数最小。

Solution

结论：将数组 s s s 按照 s i + s j < s j + s i s_i + s_j < s_j + s_i si+sj<sj+si 排序输出是最优的。

- - - 是字符串拼接，例如 1 + 2 = 12 1 + 2 = 12 1+2=12；
< < < 是按照字典序来的，例如 10 < 2 10 < 2 10<2， 23 < 232 23 < 232 23<232。

正解是 O ( N ) O(N) O(N) 的 Trie + z \text{Trie + z} Trie + z 函数，但是不太会，所以下面只讲这样排序可行的证明。

考虑偏序关系 A ≺ B A \prec B A≺B 表示 A B < B A AB < BA AB<BA，其中 A B = A + B , B A = B + A AB = A + B, \ BA = B + A AB=A+B, BA=B+A。

首先考虑三个等长字符串 A , B , C A, B, C A,B,C，若 A ≺ B A \prec B A≺B 且 B ≺ C B \prec C B≺C，显然有 A ≺ C A \prec C A≺C。

设 L = ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∣ C ∣ L = |A| = |B| = |C| L=∣A∣=∣B∣=∣C∣， A ≺ B A \prec B A≺B 表示 A B < B A AB < BA AB<BA，那么一定可以找到最小的 i ∈ [ 1 , L ] i \in [1, L] i∈[1,L] 使得 A i < B i A_i < B_i Ai<Bi，否则 A = B A = B A=B，就有 A B = B A AB = BA AB=BA，矛盾；
同理可以找到最小的 j ∈ [ 1 , L ] j \in [1, L] j∈[1,L] 使得 B j < C j B_j < C_j Bj<Cj；
若 i = j i = j i=j，则 A i < B i = B j < C j A_i < B_i = B_j < C_j Ai<Bi=Bj<Cj；
若 i < j i < j i<j，则 A i < B i = C i A_i < B_i = C_i Ai<Bi=Ci；
若 i > j i > j i>j，则 A j = B j < C j A_j = B_j < C_j Aj=Bj<Cj。
所以 A < C A < C A<C。
而 ∣ A ∣ = ∣ C ∣ |A| = |C| ∣A∣=∣C∣，拼起来也不改变前 L L L 个字符，所以 A C < C A AC < CA AC<CA，即 A ≺ C A \prec C A≺C。

设 A n = A A ⋯ A ⏟ 共 n 个 A A^n = \underbrace{AA \cdots A}_{共 n 个 A} An=共n个A AA⋯A，下证：对任意字符串 A , B A, B A,B， A ≺ B A \prec B A≺B 等价于 A n ≺ B A^n \prec B An≺B。

首先证明 A ≺ B ⇒ A n ≺ B A \prec B \Rightarrow A^n \prec B A≺B⇒An≺B。考虑数学归纳法。

由 A ≺ B A \prec B A≺B 有 A B < B A AB < BA AB<BA，在前面同时加上 A A A，得到 A A B < A B A AAB < ABA AAB<ABA，在后面同时加上 A A A，得到 A B A < B A A ABA < BAA ABA<BAA，这就得到了 A A B < B A A AAB < BAA AAB<BAA，也就有 A 2 B < B A 2 A^2B < BA^2 A2B<BA2，即 A 2 ≺ B A^2 \prec B A2≺B。

设 A n − 1 ≺ B A^{n - 1} \prec B An−1≺B，那么有 A n − 1 B < B A n − 1 A^{n - 1}B < BA^{n - 1} An−1B<BAn−1，在前面同时加上 A A A，得到 A n B < A B A n − 1 A^nB < ABA^{n - 1} AnB<ABAn−1，在 A B < B A AB < BA AB<BA 后面同时加上 A n − 1 A^{n - 1} An−1，得到 A B A n − 1 < B A n ABA^{n - 1} < BA^n ABAn−1<BAn，于是有 A n B < B A n A^nB < BA^n AnB<BAn，则 A n ≺ B A^n \prec B An≺B。

而 A ≺ B n A \prec B^n A≺Bn 同理可证（就是把同时加 A A A 改成同时加 B B B）。

接着证明 A n ≺ B ⇒ A ≺ B A^n \prec B \Rightarrow A \prec B An≺B⇒A≺B。考虑反证法。

若 A ⊀ B A \nprec B A⊀B，那么一定有 A B = B A AB = BA AB=BA 或 B ≺ A B \prec A B≺A。

若 A B = B A AB = BA AB=BA，则 A n B = A n − 1 A B = A n − 1 B A = ⋯ = B A n A^nB = A^{n - 1}AB = A^{n - 1}BA = \cdots = BA^n AnB=An−1AB=An−1BA=⋯=BAn，与 A n ≺ B A^n \prec B An≺B 矛盾；
若 B ≺ A B \prec A B≺A，则 B ≺ A n B \prec A^n B≺An（这是上一段证明推导出的结论），与 A n ≺ B A^n \prec B An≺B 矛盾。

因此 A ≺ B ⟺ A n ≺ B ⟺ A ≺ B n A \prec B \Longleftrightarrow A^n \prec B \Longleftrightarrow A \prec B^n A≺B⟺An≺B⟺A≺Bn，再进一步就是

A ≺ B ⟺ A n ≺ B m . A \prec B \Longleftrightarrow A^n \prec B^m. A≺B⟺An≺Bm.

其中 n , m n, m n,m 是任意正整数。

这样，对于三个长度不同的字符串 A , B , C A, B, C A,B,C，我们可以找到它们的最小公倍数 L = lcm ( ∣ A ∣ , ∣ B ∣ , ∣ C ∣ ) L = \text{lcm}(|A|, |B|, |C|) L=lcm(∣A∣,∣B∣,∣C∣)，然后拼接成长度均为 L L L 的字符串进行比较，即若

A ≺ B ≺ C , A \prec B \prec C, A≺B≺C,

则

A L ∣ A ∣ ≺ B L ∣ B ∣ ≺ C L ∣ C ∣ , A^{\frac{L}{|A|}} \prec B^{\frac{L}{|B|}} \prec C^{\frac{L}{|C|}}, A∣A∣L≺B∣B∣L≺C∣C∣L,

而长度相同的传递性显然，所以有

A L ∣ A ∣ ≺ C L ∣ C ∣ , A^{\frac{L}{|A|}} \prec C^{\frac{L}{|C|}}, A∣A∣L≺C∣C∣L,

再由 A ≺ B ⟺ A n ≺ B m A \prec B \Longleftrightarrow A^n \prec B^m A≺B⟺An≺Bm，得到

A ≺ C . A \prec C. A≺C.

这样对于任意字符串传递性都保证了。

C++ Code

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>

template<class T>
std::istream &operator>>(std::istream &is, std::vector<T> &v) {
    for (auto &x: v) {
        is >> x;
    }
    return is;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    int N;
    std::cin >> N;

    std::vector<std::string> S(N);
    std::cin >> S;

    std::ranges::sort(S, [&](const auto &a, const auto &b) {
        return a + b < b + a;
    });

    for (const auto &s: S) {
        std::cout << s;
    }
    
    return 0;
}

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