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二叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树
- 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
- 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
- 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
- ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值
例如，下面就是一棵二叉搜索树：
- 由于二叉搜索树中，每个结点左子树上所有结点的值都小于该结点的值，右子树上所有结点的值都大于该结点的值，因此对二叉搜索树进行中序遍历后，得到的是升序序列也就不难理解了。
- 至于什么是中序遍历，我在讲解二叉树的时候已经讲解过，这里还不清楚的兄弟们可以去看看我以前的文章。
二叉搜索树的实现
节点类
要实现二叉搜索树，我们首先需要实现一个结点类：
- 结点类当中包含三个成员变量：结点值、左指针、右指针。
- 结点类当中只需实现一个构造函数即可，用于构造指定结点值的结点。
cpp
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{
}
};构造函数
- 我们先定义一个节点对象出来
cpp
typedef BSTNode<K> Node;
Node* _root = nullptr;- 构造函数就把这个祖宗节点初始化
cpp
BSTree()
:_root(nullptr)
{
}拷贝构造函数
cpp
//拷贝树
Node* _Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr) //空树直接返回
return nullptr;
Node* copyNode = new Node(root->_key); //拷贝根结点
copyNode->_left = _Copy(root->_left); //拷贝左子树
copyNode->_right = _Copy(root->_right); //拷贝右子树
return copyNode; //返回拷贝的树
}
//拷贝构造函数
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = _Copy(t._root); //拷贝t对象的二叉搜索树
}赋值运算符重载
对于赋值运算符重载函数，下面提供两种实现方法：
- 先把当前二叉搜索树的节点全部释放，再把另外一颗二叉搜索树的所有节点拷贝过来。
cpp
//释放树中结点
void _Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr) //空树无需释放
return;
_Destory(root->_left); //释放左子树中的结点
_Destory(root->_right); //释放右子树中的结点
delete root; //释放根结点
}
//传统写法
const BSTree<K>& operator=(const BSTree<K>& t)
{
if (this != &t) //防止自己给自己赋值
{
_Destory(_root); //先将当前的二叉搜索树中的结点释放
_root = _Copy(t._root); //拷贝t对象的二叉搜索树
}
return *this; //支持连续赋值
}析构函数
析构函数完成对象中二叉搜索树结点的释放，注意释放时采用后序释放，当二叉搜索树中的结点被释放完后，将对象当中指向二叉搜索树的指针及时置空即可。
cpp
//释放树中结点
void _Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr) //空树无需释放
return;
_Destory(root->_left); //释放左子树中的结点
_Destory(root->_right); //释放右子树中的结点
delete root; //释放根结点
}
//析构函数
~BSTree()
{
_Destory(_root); //释放二叉搜索树中的结点
_root = nullptr; //及时置空
}插入函数
根据二叉搜索树的性质，其插入操作非常简单：
- 如果是空树，则直接将插入结点作为二叉搜索树的根结点。
- 如果不是空树，则按照二叉搜索树的性质进行结点的插入。
若不是空树，插入结点的具体操作如下：
- 若待插入结点的值小于根结点的值，则需要将结点插入到左子树当中。
- 若待插入结点的值大于根结点的值，则需要将结点插入到右子树当中。
- 若待插入结点的值等于根结点的值，则插入结点失败。
如此进行下去，直到找到与待插入结点的值相同的结点判定为插入失败，或者最终插入到某叶子结点的左右子树当中（即空树当中）。
- 但是需要注意在连接parent和cur时，需要判断应该将cur连接到parent的左边还是右边。
cpp
//插入函数
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr) //空树
{
_root = new Node(key); //直接申请值为key的结点作为二叉搜索树的根结点
return true; //插入成功，返回true
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key) //key值小于当前结点的值
{
//往该结点的左子树走
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key) //key值大于当前结点的值
{
//往该结点的右子树走
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else //key值等于当前结点的值
{
return false; //插入失败，返回false
}
}
cur = new Node(key); //申请值为key的结点
if (key < parent->_key) //key值小于当前parent结点的值
{
parent->_left = cur; //将结点连接到parent的左边
}
else //key值大于当前parent结点的值
{
parent->_right = cur; //将结点连接到parent的右边
}
return true; //插入成功，返回true
}查找函数
根据二叉搜索树的特性，我们在二叉搜索树当中查找指定值的结点的方式如下：
- 若树为空树，则查找失败，返回nullptr。
- 若key值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
- 若key值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
- 若key值等于当前结点的值，则查找成功，返回对应结点的地址。
cpp
bool find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}删除函数
待删除结点的左子树为空
- 待删除节点右子树节点为空也是一样的处理方法
- ？但是如果我们删除的节点是祖宗节点，那么祖宗节点没有父节点该怎么办呢
cpp
//找到了，准备删除
if (cur->_left == nullptr) //左子树为空
{
if (_root == cur) //删除的节点是祖宗节点
{
_root = cur->_right; //删除祖宗节点后，让我的右孩子节点成为新的祖宗节点
}
else
{
if (parent->_right == cur) //判断删除的节点是父节点的左孩子节点还是右孩子节点
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr) //右子树为空
{
if (_root == cur) //删除的节点是祖宗节点
{
_root = cur->_left;//删除祖宗节点后，让我的左孩子节点成为新的祖宗节点
}
else
{
if (cur == parent->_right) //判断删除的节点是父节点的左孩子节点还是右孩子节点
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
}待删除的两个节点都不为空
- 这个时候其实还有一个问题，那就是删除的节点如果是祖宗节点呢？
cpp
//找个人替代我的位置
//找右子树的最小节点
Node* minRight = cur->_right;
Node* minRightParent = cur; //不能写成nullptr,如果不进循环会对minRightParent->_left = minRight->_right;空指针解引用
while (minRight->_left)
{
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight)
{
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else
{
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;中序遍历
- 如果想要中序遍历我们就需要提供二叉树的祖宗节点，但是我们节点是封装起来的，但是我们又要在类外用，有没有一个方法能不在类外提供祖宗节点就可以完成中序遍历呢？有的兄弟有的。
- 我们在类里面再实现一个函数用来调用中序遍历的函数，我们知道，在类外是可以使用类的成员变量的，这个时候我们就可以提供祖宗节点调用中序遍历函数，然后我们只需要调用这个调用中序遍历函数的函数即可。
cpp
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}二叉搜索树的应用(k和k/v模型 )
