代码随想录算法训练营 Day40 动态规划Ⅷ 股票问题

动态规划

题目

121. 买卖股票的最佳时机 - 力扣（LeetCode）

使用二维 dp 数组表示

dp[i][0] 表示持有股票的最大金额，dp[i][1] 表示不持有股票的最大金额，表示盈利结果
递推公式由前一天持有金额和是否买股票决定

决定是否花钱买入股票 dp[i-1][0] = max(dp[i-1][0], -price[i])

股票最大盈利 dp[i-1][1]=max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + price[i])

Dp 初始化都是从 dp[0][0]\[1] 推出
dp[0][0]=-price[0] 第一天就持有股票的最大金额
dp[0][1]=0 第一天不持有股票，那就为 0
遍历顺序从前往后
打印 dp

cpp 复制代码

int maxProfit(vector<int>& prices) {
	// 定义dp数组
	std::vector<std::vector<int>> dp(prices.size(), std::vector<int>(2,0));
	// 初始化dp 0 持有股票的金额 1 不持有股票的金额
	dp[0][0] = -prices[0];
	dp[0][1] = 0;
	// 遍历dp
	for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
		// 如果要买今天的股票 那种方式金额最多
		dp[i][0] = std::max(dp[i-1][0], -prices[i]);
		// 不持有股票最大金额（不持有或者卖出(持有成本+卖出)求最大）
		dp[i][1] = std::max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
	}
	return std::max(dp[prices.size()-1][0], dp[prices.size()-1][1]);
}

122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣（LeetCode）

有贪心算法与 dp 两种，贪心算法就是吃干净每个 T，有波动就吃，波动小于 0 不操作

详情见 $\[Day28 贪心Ⅱ 股票交易跳跃游戏 K取反$ ]

Dp 数组定义如上题，dp[i][0] 表示持有股票最大金额，dp[i][1] 表示不持有股票的最大金额
递推公式的确定类似上题，本题中可以多次买卖股票了，因此持有股票的最大金额是多次变换的

本题目说了只能持有或卖出两个状态，不存在持有卖一半的情况，因此持有之前一定是不持有的

持有的最大金额：取持有或者新买入的最大 dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i])

不持有的最大金额：dp[i][0]=max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i])

初始化 dp 从 0 推出，因此 dp[0][0]=-prices[0],dp[0][1]=0
遍历顺序从前往后遍历
打印 dp

cpp 复制代码

int maxProfit(vector<int>& prices) {
	// 定义dp数组 0 表示持有股票的最大金额 1 表示不持有股票的最大金额
	std::vector<std::vector<int>> dp(prices.size(), std::vector<int>(2,0));
	// 初始化dp数组
	dp[0][0] = -prices[0];
	dp[0][1] = 0;
	// 遍历dp数组
	for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
		// 更新两个dp分量 持股最大金额 不持股最大金额 取之前的状态与决定持股/不持股的状态最大值
		dp[i][0] = std::max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i]);
		dp[i][1] = std::max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i]);
	}
	return std::max(dp[prices.size()-1][0], dp[prices.size()-1][1]);
}

123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）

基于上一题的升级版，有两次买卖机会，可以买卖一次，卖两次，不买卖

在上一题基础上多添加几个状态

Dp 数组定义

第 i 天不操作 dp[i][0]，第 i 天第一次持有 dp[i][1]，第 i 天第一次不持有 dp[i][2]，

第 i 天第二次持有 dp[i][3]，第 i 天第二次不持有 dp[i][4]

递推公式可以看作是之前题目的扩展版，多了一次买入卖出情况

不操作 dp[i][0]=dp[i-1][0]

第一次持有 dp[i][1]=max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])

第一次不持有 dp[i][2]=max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i])

第二次持有 dp[i][3]=max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i])

第二次不持有 dp[i][4]=max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i])

初始化 dp

不操作 dp[0][0]=0

第一次持有 dp[0][1]=-prices[0]

第一次不持有 dp[0][2]=dp[0][1]+prices[0]=0

第二次持有 dp[0][3]=dp[0][2]-prices[0]=-prices[0]

第二次不持有 dp[0][4]=dp[0][4]+prices[0]=0

遍历顺序从前往后推导出来的
打印 dp

结果最后只存在 2 4 中，因为卖出的金额一定比买入金额高，取两次卖出的最大值

本质上第二次卖出就是最大值，因为第二次卖出包含了第一次卖出的情况

cpp 复制代码

int maxProfit(vector<int>& prices) {
	// 定义dp数组
	std::vector<std::vector<int>> dp(prices.size(), std::vector<int>(5,0));
	// dp赋值 0 不操作 1 第一次持有 2 第一次不持有 3 第二次持有 4 第二次不持有
	dp[0][0] = 0;
	dp[0][1] = -prices[0];
	dp[0][2] = 0;
	dp[0][3] = -prices[0];
	dp[0][4] = 0;
	// 遍历dp
	for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
		dp[i][0] = dp[i-1][0];
		dp[i][1] = std::max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
		dp[i][2] = std::max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
		dp[i][3] = std::max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
		dp[i][4] = std::max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);
	}
	return std::max(dp[prices.size()-1][2], dp[prices.size()-1][4]);
}