LeetCode-前缀和-和为K的子数组

LeetCode-前缀和-和为K的子数组

✏️ 关于专栏：专栏用于记录 prepare for the coding test。

文章目录

LeetCode-前缀和-和为K的子数组
- [📝 和为K的子数组](#📝 和为K的子数组)
- - 🎯题目描述
  - [🔍 输入输出示例](#🔍 输入输出示例)
  - 🧩题目提示
  - 🧪前缀和
  - - ❓什么是"前缀和"？
    - [🤔 如何用前缀和优化"和为 k 的子数组"问题？](#🤔 如何用前缀和优化“和为 k 的子数组”问题？)
  - [🌟 总结](#🌟 总结)
  - - 🔚回顾前缀和知识整理（含差分）
    - - [✅ 一维前缀和](#✅ 一维前缀和)
      - [✅ 一维差分（前缀和的逆运算）](#✅ 一维差分（前缀和的逆运算）)
      - [✅ 二维前缀和](#✅ 二维前缀和)
      - [✅ 二维差分](#✅ 二维差分)

📝 和为K的子数组

🎯题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的子数组的个数 。

子数组是数组中元素的连续非空序列。

🔗题目链接：和为K的子数组

🔍 输入输出示例

示例 1:

复制代码

输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：2

示例 2:

复制代码

输入：nums = [1,2,3], k = 3
输出：2

🧩题目提示

1 <= nums.length <= 2 * 104
-1000 <= nums[i] <= 1000
-107 <= k <= 107

🧪前缀和

❓什么是"前缀和"？

前缀和是一个技巧，用于快速计算数组任意一段区间 [i, j] 的和。

我们构造一个辅助数组 s，令：

c++ 复制代码

s[i] 表示 nums[0] + nums[1] + ... + nums[i-1]

那么区间和 nums[i..j] 就可以表示为：

c++ 复制代码

s[j+1] - s[i]

🤔 如何用前缀和优化"和为 k 的子数组"问题？

关键点在于变换等式：

c++ 复制代码

s[j+1] - s[i] == k  ⟺  s[i] == s[j+1] - k

换句话说，每次计算一个新的前缀和 s[j+1]，我们就可以检查之前有多少个前缀和等于 s[j+1] - k，那么这些位置开始的子数组就是合法的。

这个过程使用一个 unordered_map<int, int> 来实时记录每个前缀和的出现次数（频次），可以在 O(1) 时间内查询和更新。

c++ 复制代码

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        vector<int> s(n + 1);
        for(int i = 0;i < n;i++){
            s[i + 1] = s[i] + nums[i];
        }
        int ans = 0;
        unordered_map<int,int> cnt;
        for(int i = 0;i < s.size();i++){
            ans += cnt.contains(s[i] - k) ? cnt[s[i] - k] : 0;
            cnt[s[i]]++;
        }
        return ans;
    }
};

🌟 总结

前缀和（Prefix Sum） 是一种常见的预处理技巧，主要用于在 O(1) 时间内求任意子数组/区间的连续和。

前缀和本质是对数组进行一次扫描，将每个位置之前的累积值保存下来，方便后续快速计算区间和。

设原数组为 nums，构建前缀和数组 prefix（或 s），定义如下：

c++ 复制代码

prefix[0] = 0
prefix[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i - 1]

那么任意一个区间 [i, j] 的子数组和为：

c++ 复制代码

sum(i..j) = prefix[j + 1] - prefix[i]

前缀和 = "先累加、后查找"，是快速处理连续区间求和问题的利器，尤其适用于带有"连续"、"区间"、"子数组"、"和为 K"、"模 K"等关键词的问题。

使用前缀和 + 哈希表可以高效统计和为 k 的子数组个数；
关键是理解：s[j+1] - s[i] == k => s[i] = s[j+1] - k
初始化 cnt[0] = 1 是处理从头开始的子数组的必要手段。

🔚回顾前缀和知识整理（含差分）

✅ 一维前缀和

定义：

给定数组 a[1..n]，定义前缀和数组 s[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i]

其中 s[0] = 0

求区间和 $l, r$ ：

复制代码

int sum = s[r] - s[l - 1];

构建代码：

复制代码

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    s[i] = s[i - 1] + a[i];
}

✅ 一维差分（前缀和的逆运算）

定义：

差分数组 d[i] = a[i] - a[i - 1]，可用于快速区间修改

区间加法操作：对区间 $l, r$ 加 x

复制代码

d[l] += x;
d[r + 1] -= x;

最终恢复原数组 a：

复制代码

a[1] = d[1];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    a[i] = a[i - 1] + d[i];
}

✅ 二维前缀和

定义：

给定二维数组 a[i][j]，定义二维前缀和 s[i][j] = a[1][1] + ... + a[i][j]

构建公式：

复制代码

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

求子矩阵和 $(x1,y1), (x2,y2)$ ：

复制代码

int sum = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];

✅ 二维差分

定义：
d[i][j] = a[i][j] - a[i-1][j] - a[i][j-1] + a[i-1][j-1]

对子矩阵 $(x1,y1), (x2,y2)$ 加 x：

复制代码

d[x1][y1] += x;
d[x2+1][y1] -= x;
d[x1][y2+1] -= x;
d[x2+1][y2+1] += x;

恢复原数组：

复制代码

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++)
        a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + d[i][j];

📌应用场景：

一维前缀和：快速求区间和
一维差分：快速区间加减
二维前缀和：求子矩阵和
二维差分：矩阵局部批量修改