在聚类分析中，距离度量是核心概念之一，它决定了数据点之间的相似性或差异性，从而影响聚类结果的质量。
选择合适的距离度量方法，就像为数据选择合适的**"观察视角"**，能够帮助我们发现隐藏的模式结构。
本文将详细介绍几种常用的聚类距离度量方法，包括它们的原理、代码实现，以及这些方法满足的基本性质。
1. 常用距离度量
1.1. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）
闵可夫斯基距离是一种通用的距离度量方法，它涵盖了多种常见的距离计算方式。
其公式为：\(D(x,y)=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}\)
- 当 p=1 时，它是曼哈顿距离 （
Manhattan Distance），适用于网格状空间，例如城市街区。 - 当 p=2 时，它是欧几里得距离 （
Euclidean Distance），是最常用的距离度量方式，适用于连续变量。 - 当 p\\to\\infty 时，它趋近于切比雪夫距离 （
Chebyshev Distance），即各维度差的最大值。
基于scikit-learn库计算这些距离非常简单：
python
from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances
import numpy as np
# 示例数据
x = np.array([[1, 2, 3]])
y = np.array([[4, 5, 6]])
# 计算不同 p 值的闵可夫斯基距离
manhattan_distance = pairwise_distances(x, y, metric='manhattan')[0][0]
euclidean_distance = pairwise_distances(x, y, metric='euclidean')[0][0]
chebyshev_distance = pairwise_distances(x, y, metric='chebyshev')[0][0]
print("曼哈顿距离:", manhattan_distance)
print("欧几里得距离:", euclidean_distance)
print("切比雪夫距离:", chebyshev_distance)
## 输出结果：
'''
曼哈顿距离: 9.0
欧几里得距离: 5.196152422706632
切比雪夫距离: 3.0
'''1.2. 汉明距离（Hamming Distance）
汉明距离用于衡量两个等长字符串之间的差异，即对应位置上不同字符的个数。
它常用于离散属性的比较。
代码示例如下：
python
from sklearn.metrics import hamming_loss
# 示例数据
x = np.array([0, 1, 1, 0])
y = np.array([1, 1, 0, 0])
# 计算汉明距离
hamming_distance = hamming_loss(x, y)
print("汉明距离:", hamming_distance)
## 输出结果：
'''
汉明距离: 0.5
'''1.3. 杰卡德距离（Jaccard Distance）
杰卡德距离用于衡量两个集合之间的相似性，定义为两个集合交集的大小与并集大小的比值的补数。
它适用于稀疏数据。
代码示例如下：
python
from sklearn.metrics import jaccard_score
# 示例数据
x = np.array([0, 1, 1, 0])
y = np.array([1, 1, 0, 0])
# 计算杰卡德距离
jaccard_similarity = jaccard_score(x, y)
jaccard_distance = 1 - jaccard_similarity
print("杰卡德距离:", jaccard_distance)
## 输出结果：
'''
杰卡德距离: 0.6666666666666667
'''1.4. 余弦距离
余弦距离通过向量夹角衡量方向相似性，常用于文本分析。
它的公式是： cos(\\theta)=\\frac{X\\cdot Y}{\|\|X\|\|\\cdot \|\|Y\|\|}
实际使用常转换为余弦距离：距离 = 1 - 余弦相似度。
代码示例如下：
python
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_distances
import numpy as np
# 示例数据
x = np.array([[1, 2, 3]])
y = np.array([[4, 5, 6]])
# 计算余弦距离
cosine_dist = cosine_distances(x, y)[0][0]
print("余弦距离:", cosine_dist)
## 输出结果：
'''
余弦距离: 0.025368153802923787
'''2. 距离度量的基本性质
距离度量方法通常需要满足以下基本性质，以确保其合理性和有效性：
- 非负性 （
Non-negativity）：距离必须是非负的，即 D(x,y)\\geq 0 。
这意味着任意两个点之间的距离不能为负值。
- 同一性 （
Identity）：当且仅当两个点相同时，距离为零，即\(D(x,y)=0\) 当且仅当\(x=y\) 。
这确保了距离能够区分不同的点。
- 对称性 （
Symmetry）：距离是无方向的，即\(D(x,y)=D(y,x)\) 。
这意味着从点\(x\) 到点\(y\) 的距离与从点\(y\) 到点\(x\) 的距离相同。
- 三角不等式 （
Triangle Inequality）：对于任意三个点\(x\) 、\(y\) 和\(z\) ，满足\(D(x,z)\leq D(x,y)+D(y,z)\) 。
这确保了距离的合理性，即直接从\(x\) 到\(z\) 的距离不会超过经过\(y\) 的距离。
这些性质的意义在于，它们为距离度量提供了数学上的合理性，使得距离能够正确地反映数据点之间的相似性或差异性。
3. 连续属性与离散属性的距离
对于连续属性 ，常用的距离度量方法是欧几里得距离 和曼哈顿距离。
这些方法基于数值的差值来计算距离，适用于数值型数据。
- 欧几里得距离：适用于多维空间中的连续数据，计算两点之间的直线距离。
- 曼哈顿距离：适用于网格状空间，计算两点之间的"步数"距离。
对于离散属性 ，常用的距离度量方法是汉明距离 和杰卡德距离。
- 汉明距离：适用于二进制数据或分类数据，计算两个序列中不同位置的数量。
- 杰卡德距离：适用于集合数据，计算两个集合之间的相似性。
4. 总结
距离度量是聚类分析中的关键环节。通过选择合适的距离度量方法，可以更好地反映数据点之间的相似性或差异性。
本文介绍了几种常用的距离度量方法，包括闵可夫斯基距离、汉明距离和杰卡德距离等等，并通过代码示例展示了它们的使用方式。
同时，我们还探讨了距离度量的基本性质及其意义，以及如何针对连续属性和离散属性进行距离计算。
在实际应用中，选择哪种距离度量方法取决于数据的类型和聚类的目标。