背包问题（1）

大一学了大三复习一下巩固一下知识；

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实例

java 复制代码

import java.util.Scanner;

// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        // 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别
        while (in.hasNextInt()) { // 注意 while 处理多个 case
            int a = in.nextInt();
            int b = in.nextInt();
            System.out.println(a + b);
        }
    }
}

第一次试错（贪心）:

java 复制代码

import java.util.Scanner;

//TIP To <b>Run</b> code, press <shortcut actionId="Run"/> or
// click the <icon src="AllIcons.Actions.Execute"/> icon in the gutter.
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        //TIP Press <shortcut actionId="ShowIntentionActions"/> with your caret at the highlighted text
        // to see how IntelliJ IDEA suggests fixing it.
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        //箱子容量
        int boxv= scanner.nextInt();
        //物品数量
        int object_num = scanner.nextInt();
        int[] object = new int[object_num];
        for(int i = 0; i < object_num; i++){
            object[i] = scanner.nextInt();
        }
        int res = boxv;
        for(int i = 0; i < object_num; i++){
            if (boxv-object[i] > 0) {
                boxv = Math.min(boxv - object[i], boxv);
            }
        }
        System.out.println(boxv);
        }
    }

错误之处贪心思想只能解决局部最优无法结局全局最优

解题思路

动态规划

java 复制代码

import java.util.Scanner;

//TIP To <b>Run</b> code, press <shortcut actionId="Run"/> or
// click the <icon src="AllIcons.Actions.Execute"/> icon in the gutter.
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        //TIP Press <shortcut actionId="ShowIntentionActions"/> with your caret at the highlighted text
        // to see how IntelliJ IDEA suggests fixing it.
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        //箱子容量
        int boxv= scanner.nextInt();
        //物品数量
        int object_num = scanner.nextInt();
        int[] object = new int[object_num+1];
        for(int i = 0; i < object_num; i++){
            object[i] = scanner.nextInt();
        }
        int[] dp = new int[boxv+1];//盒子中的体积
        for(int i = 0; i < object_num; i++){
            //每个物品只使用一次 倒序遍历
           for (int j = boxv; j >= object[i]; j--){
              dp [j] = Math.max(dp[j],dp[j-object[i]]+object[i]);
           }
        }
        System.out.println(boxv-dp[boxv]);
        }
    }

状态定义 ：
dp[j] 表示容量为 j 时能装入的最大总体积 。

这个定义直接对应问题目标：我们需要的最终结果就是 dp[V]（容量为 V 时的最大装入体积）。

回溯剪枝

java 复制代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int[][] f; // 记忆化数组

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int V = scanner.nextInt(); // 箱子容量
        int n = scanner.nextInt(); // 物品数量
        int[] v = new int[n];      // 物品体积数组

        // 读取每个物品的体积
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            v[i] = scanner.nextInt();
        }

        // 初始化记忆化数组，-1表示未计算
        f = new int[n + 1][V + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= V; j++) {
                f[i][j] = -1;
            }
        }

        // 计算最大能装入的体积
        int maxVolume = dp(v, V, n);
        // 输出剩余空间
        System.out.println(V - maxVolume);
    }

    // 递归函数：计算前n个物品，容量为V时的最大装入体积
    static int dp(int[] v, int V, int n) {
        // 如果已经计算过，直接返回结果
        if (f[n][V] >= 0) {
            return f[n][V];
        }

        // 边界条件：没有物品时，最大体积为0
        if (n == 0) {
            return 0;
        }

        // 当前物品体积小于等于容量，可以选或不选
        if (V >= v[n - 1]) {
            f[n][V] = Math.max(dp(v, V, n - 1),
                    dp(v, V - v[n - 1], n - 1) + v[n - 1]);
        } else {
             // 当前物品体积大于容量，不能选
            
            f[n][V] = dp(v, V, n - 1);
        }

        return f[n][V];
    }
}

状态转移逻辑 ：

对于每个物品体积 w，有两种选择：
- 不选：则容量为 j 时的最大体积仍为 dp[j]。
- 选：前提是 j≥w，此时需要用前 i−1 个物品填满 j−w 的容量，再加上当前物品的体积 w，即 dp[j-w] + w。
  因此，状态转移方程为：dp $j$ =max(dp $j$ , dp $j-w$ +w)
  逆序遍历容量（从 V 到 w）是为了确保每个物品只被选一次（避免重复计算），这是 01 背包的核心优化技巧。

回溯法（带剪枝）：通过递归枚举所有可能的物品组合，并在当前体积超过容量时提前终止（剪枝）。对物品体积从大到小排序可以更快触发剪枝条件。
记忆化搜索：递归实现动态规划，通过记忆化数组避免重复计算，代码结构更直观。