开卡包的期望

问题描述

目前有N个卡包，K种卡牌，每次开卡包等概率的开出K种卡牌中任意一张

求N个卡包能够开出的卡牌种类期望数

开出所有种类的卡包期望数

问题1

设随机变量 X 表示 N 包卡包开出的卡牌种类数，每张卡牌未被开出的概率为 ( 1 − 1 k ) N \left(1 - \frac{1}{k}\right)^N (1−k1)N 。

根据期望线性性质， X 的期望为：

E ( X ) = k ⋅ $1 - ( 1 - 1 k ) N$ E(X) = k \cdot \left $1 - \\left(1 - \\frac{1}{k}\\right)\^N\\right$ E(X)=k⋅ $1-(1-k1)N$

对每张卡牌定义指示变量 X i X_i Xi（开出第 i 张牌时 X i = 1 X_i = 1 Xi=1 ，否则为 0 ）。
单张卡牌未被开出的概率为 ( 1 − 1 k ) N ，故 E ( X i ) = 1 − ( 1 − 1 k ) N \left(1 - \frac{1}{k}\right)^N ，故 E(X_i) = 1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^N (1−k1)N，故E(Xi)=1−(1−k1)N 。
总期望 E ( X ) = K ∗ ( 1 − ( 1 − 1 k ) N ) E(X) =K*(1 - \left(1 - \frac{1}{k}\right)^N) E(X)=K∗(1−(1−k1)N)

问题2

设 X 为收集所有 k 种卡牌所需的开包次数。将 X 分解为 k 个阶段的随机变量之和：

X = X 1 + X 2 + ⋯ + X k X = X_1 + X_2 + \cdots + X_k X=X1+X2+⋯+Xk

其中 X i X_i Xi表示从已收集 i-1 种卡牌到收集第 i 种卡牌所需的开包次数。

第 1 阶段（ X 1 ）：初始时未收集任何卡牌，每次开包必获得新卡牌，因此 X 1 = 1 第 1 阶段（ X_1 ）：初始时未收集任何卡牌，每次开包必获得新卡牌，因此 X_1 = 1 第1阶段（X1）：初始时未收集任何卡牌，每次开包必获得新卡牌，因此X1=1 。
第 i 阶段（ X i , i ≥ 2 ）：已收集 i − 1 种卡牌，剩余 k − ( i − 1 ) = k − i + 1 种新卡牌。此时每次开包获得新卡牌的概率为 p i = k − i + 1 k ，因此 X i 服从参数为 p i 的几何分布。几何分布的期望为 1 p i ，即： E $X i$ = k k − i + 1 . 第 i 阶段（ X_i, i \geq 2 ）：已收集 i-1 种卡牌，剩余 k - (i-1) = k - i + 1 种新卡牌。此时每次开包获得新卡牌的概率为 p_i = \frac{k - i + 1}{k} ，因此 X_i 服从参数为 p_i 的几何分布。几何分布的期望为 \frac{1}{p_i} ，即： \mathbb{E} $X_i$ = \frac{k}{k - i + 1}. 第i阶段（Xi,i≥2）：已收集i−1种卡牌，剩余k−(i−1)=k−i+1种新卡牌。此时每次开包获得新卡牌的概率为pi=kk−i+1，因此Xi服从参数为pi的几何分布。几何分布的期望为pi1，即：E $Xi$ =k−i+1k.

根据期望的线性性质，总期望为各阶段期望之和：

E $X$ = E $X 1$ + E $X 2$ + ⋯ + E $X k$ . \mathbb{E} $X$ = \mathbb{E} $X_1$ + \mathbb{E} $X_2$ + \cdots + \mathbb{E} $X_k$ . E $X$ =E $X1$ +E $X2$ +⋯+E $Xk$ .

代入各阶段期望：

E $X$ = 1 + k k − 1 + k k − 2 + ⋯ + k 1 = k ( 1 1 + 1 2 + ⋯ + 1 k ) . \mathbb{E} $X$ = 1 + \frac{k}{k-1} + \frac{k}{k-2} + \cdots + \frac{k}{1} = k \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k} \right). E $X$ =1+k−1k+k−2k+⋯+1k=k(11+21+⋯+k1).

这里用到了调和数 H k = 1 + 1 2 + ⋯ + 1 k H_k = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k} Hk=1+21+⋯+k1，因此最终期望为：

E $X$ = k ⋅ H k . \mathbb{E} $X$ = k \cdot H_k. E $X$ =k⋅Hk.

结论：

无论卡包种类数 n 是多少（只要每种卡包开出每张卡牌的概率均为 1/k ），收集所有 k 种卡牌的期望开包次数为：

k ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 k ) \boxed{k \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} \right)} k(1+21+31+⋯+k1)

或用调和数表示为：

k ⋅ H k \boxed{k \cdot H_k} k⋅Hk