LeetCode 169:多数元素 - 摩尔投票法的精妙解法

标签:LeetCode 169, 多数元素, 摩尔投票法, Java算法, 数组处理

题目描述

给定一个大小为 n 的数组,找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数 大于 ⌊n/2⌋ 的元素。你可以假设数组是非空的,并且给定的数组总是存在多数元素。

示例 1:

复制代码
输入:[3,2,3]
输出:3

示例 2:

复制代码
输入:[2,2,1,1,1,2,2]
输出:2

问题分析

多数元素问题要求我们找出数组中出现次数超过一半的元素。最直观的解法是使用哈希表统计元素出现次数,但这需要 O(n) 的额外空间。排序后取中间元素的解法需要 O(n log n) 的时间复杂度。那么是否存在一种既高效又节省空间的解法呢?

摩尔投票法 (Boyer-Moore Voting Algorithm) 正是解决这类问题的绝佳方案,它能在 O(n) 时间复杂度和 O(1) 空间复杂度内解决问题。

摩尔投票法原理

摩尔投票法的核心思想是元素抵消,它基于一个关键事实:由于多数元素的数量超过所有其他元素数量的总和,因此通过相互抵消的方式,最终剩下的必定是多数元素。

算法步骤

  1. 初始化 候选元素 candidate 和计数器 count
  2. 遍历 数组中的每个元素:
    • count == 0 时,将当前元素设为候选元素
    • 当当前元素等于候选元素时,count++
    • 当当前元素不等于候选元素时,count--
  3. 返回候选元素作为多数元素

为什么有效?

假设多数元素为 m,出现次数为 k,数组长度为 n,则:

  • k > n/2
  • 其他元素总数为 n-k < k

在遍历过程中:

  • 每个 m 使 count+1
  • 每个非 m 使 count-1

最终计数相当于:count = k - (n - k) = 2k - n

因为 k > n/2,所以 2k > n,即 2k - n > 0,因此最终 count > 0,候选元素必定是多数元素。

Java代码实现

java 复制代码
class Solution {
    public int majorityElement(int[] nums) {
        // 初始化候选元素和计数器
        int candidate = nums[0];
        int count = 0;
        
        for (int num : nums) {
            // 当计数器为0时,选择新的候选元素
            if (count == 0) {
                candidate = num;
            }
            
            // 更新计数器:当前元素等于候选元素则+1,否则-1
            count += (num == candidate) ? 1 : -1;
        }
        
        // 最终候选元素即为多数元素
        return candidate;
    }
}

算法演示

以数组 [2,2,1,1,1,2,2] 为例:

步骤 当前元素 candidate count 说明
1 2 2 1 初始化 candidate 为 2
2 2 2 2 相同元素,count++
3 1 2 1 不同元素,count--
4 1 2 0 不同元素,count--
5 1 1 1 count=0,重置 candidate
6 2 1 0 不同元素,count--
7 2 2 1 count=0,重置 candidate

最终结果:2(正确)

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n),只需遍历数组一次
  • 空间复杂度:O(1),仅使用常数级别的额外空间

算法优势

  1. 空间效率:不需要额外的哈希表存储空间
  2. 时间效率:仅需一次遍历即可得到结果
  3. 简洁性:代码实现简单明了,逻辑清晰
  4. 通用性:适用于任何满足多数元素定义的场景

边界情况处理

虽然题目保证存在多数元素,但在实际应用中,我们可以添加验证步骤:

java 复制代码
// 验证候选元素是否确实是多数元素
int verify = 0;
for (int num : nums) {
    if (num == candidate) {
        verify++;
    }
}

if (verify > nums.length / 2) {
    return candidate;
} else {
    throw new IllegalArgumentException("No majority element exists");
}

实际应用场景

摩尔投票法不仅适用于算法题目,在实际开发中也有广泛应用:

  1. 选举系统中的多数票统计
  2. 分布式系统中的主节点选举
  3. 数据分析中的高频元素检测
  4. 容错系统中的多数决策机制

总结

摩尔投票法以其简洁高效的特点,成为解决多数元素问题的最佳方案。它通过巧妙的抵消策略,在O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度内解决问题,完美体现了"用简单方法解决复杂问题"的算法设计思想。

掌握摩尔投票法不仅能帮助你在算法面试中脱颖而出,更能提升你对高效算法设计的理解和应用能力。在实际开发中,这种空间高效的算法思想尤其适合处理大规模数据场景。

思考题:如果要求找出出现次数超过 n/3 的元素,该如何扩展摩尔投票法呢?

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