C++递推

🌱 一、认识递推思想

1. 什么是递推？

用生活化语言解释：

"递推就像搭积木，第一个积木放好了，第二个就按规则放，第三个也一样......一个一个地推下去。"

2. 递推和递归的区别

• 递推是从前往后推（通常是循环实现）；
• 递归是函数自己调用自己，适合更深一点再讲。

可以打比方：

"递推像爬楼梯，每一步都知道怎么走；递归像走迷宫，需要回头找路。"

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🧩 二、课程结构设计

第一课：递推的概念与"斐波那契数列"

• 故事导入：兔子繁殖问题
• 讲解规则：f(n) = f(n-1) + f(n-2)
• 展示代码（用C++、Python或伪代码均可）
• 画图辅助：用表格或柱状图展示数列

第二课：用数组进行递推

• 引入数组：f[0] = 0; f[1] = 1;
• 写出 for 循环实现斐波那契
• 强调初始化的重要性

第三课：常见递推问题

类型一：爬楼梯问题

• 每次可以爬1步或2步，有几种爬法？
• f(n) = f(n-1) + f(n-2)

类型二：走格子问题

• 从(0,0)走到(m,n)只能向右或向下，有几种走法？
• 讲解二维递推 f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]

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🔍 三、教学技巧与建议

1. 用图讲解

• 每个状态画出来，用箭头表示状态转移
• 可以让学生贴便利贴模拟递推过程

2. 强调"初始条件"

• 就像解数学题要给"已知"
• 如果初始条件错了，后面就全错

3. 布置练习题（逐步递进）

• 简单数列：斐波那契、等差、等比
• 应用题：楼梯、走格子、换零钱、跳石头等
• 上NOIP真题（如历年普及组一二题）

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💡 四、推荐递推题目（适合入门）

题目名称	题目类型	来源/备注
斐波那契数列	一维递推	标准起点
青蛙跳台阶	一维递推	每次跳1或2步
走迷宫	二维递推	DP入门
数塔问题	从下往上递推	动态规划铺垫
摆花问题	一维+限制递推	有约束条件的递推练习

🎓 信息学奥赛·递推第一课：神奇的兔子家族

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🧭 一、教学导语（适合讲课开头使用）

👩‍🏫（老师可以这样说）：

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同学们，今天我们来讲一个非常有趣的数学故事，叫做"兔子家族"。

古时候，有一位意大利数学家斐波那契，他思考了一个问题：

"如果有一对兔子，从出生开始需要两个月长大，从第3个月起，它们每个月都会生一对新兔子。所有新出生的兔子也会按同样的规律长大并生兔子。那一年以后，会有多少对兔子呢？"

这个问题非常有趣，因为它藏着一种叫"递推 "的思维方式------通过前面的信息，一步步推出后面的答案。

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✅ 关键词解释：

• 从第3个月起，每个月生兔子（注意：不是每两个月生一次！）
• 所有兔子都遵守同样的生育规律
• 递推：用前面的答案推算后面的结果

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✏️ 二、第一课开头内容设计

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📌 1. 目标导入（板书建议）

课题 ：递推第一课------斐波那契与兔子问题
本课目标：

• 理解什么是"递推"
• 学会用递推方法解决兔子问题
• 学习斐波那契数列的基本形式

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🐇 2. 逐月分析（配合板书或幻灯片）

引导学生逐月思考并记录兔子对数变化（可画表格或图）：

月份	兔子对数（总数）	新出生兔子对数	说明
1	1	0	刚出生，还不能生
2	1	0	还在成长
3	2	1	第一对兔子长大，开始生一对新兔子
4	3	1	第一对兔子继续生
5	5	2	第一、第二个月的兔子都能生
6	8	3	第3月出生的兔子也长大了开始生

🧠 引导提问：

• "你能看出什么规律吗？"
• "每个月的兔子数量，和前几个月有什么关系？"

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📌 3. 引出递推公式（板书）

从第3个月开始，每个月兔子数量 = 前一个月 + 前两个月

板书公式：

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f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
f(1) = 1
f(2) = 1

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🎯 4. 小结

今天我们通过兔子的故事，了解了一种特殊的规律叫做"递推"，也叫"斐波那契数列"。这个规律会在我们后面很多信息学奥赛的题目中反复出现。只要掌握了它，很多看似复杂的问题都能迎刃而解。

🧠 信息学奥赛 · 递推第二课：用数组实现斐波那契数列

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🧭 一、教学导语（课堂开场白）

👩‍🏫（老师讲）：

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同学们，上一节我们通过兔子的故事，了解了"递推"的概念，还认识了斐波那契数列。

但在信息学比赛中，我们不能靠一张嘴去推兔子数，要靠代码来帮我们推！

今天我们要学习如何用数组和 for 循环来写出这个数列，并且要特别注意"初始化"这一关键步骤。

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✏️ 二、知识目标

• 理解为什么用数组存储每个月的兔子对数；
• 能用 for 循环实现递推过程；
• 掌握递推程序中的初始化技巧和重要性。

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🧩 三、递推的代码实现（逐步讲解）

✅ 1. 斐波那契数列的数学公式复习

复制编辑
f(0) = 0
f(1) = 1
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)   （n ≥ 2）

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✅ 2. 引入数组思想（板书 or PPT）

• 我们希望记录每个月的兔子数量
• 每一项都依赖前两项，用一个数组 f[] 来保存：

cpp
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int f[20];  // 开一个数组，记录前20个月的兔子数量

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✅ 3. 强调初始化的重要性

cpp
复制编辑
f[0] = 0;
f[1] = 1;

🔴 讲解重点：

如果没有这两个初始值，f[2] = f[1] + f[0] 就无法正确计算，程序会用"未定义"的数去递推，结果肯定错。

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✅ 4. 完整代码示例（适合板书讲解）

cpp
复制编辑
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int f[20];
    f[0] = 0;
    f[1] = 1;

    for (int i = 2; i < 20; i++) {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    }

    for (int i = 0; i < 20; i++) {
        cout << "f[" << i << "] = " << f[i] << endl;
    }

    return 0;
}

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🚨 四、易错提醒

错误类型	说明
忘记初始化	没写 f[0] = 0; f[1] = 1; 会导致程序输出错误
数组越界	例如访问 f[-1]，f[20] 等非法下标
写错递推公式	比如写成 f[i] = f[i - 2] + f[i - 3] 等
错误循环起点	正确是 i = 2 开始（前两个数已经给定了）

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🧠 五、课堂练习建议

✅ 基础练习

• 输出前 20 项的斐波那契数列

✅ 提升练习

• 输入一个整数 n，输出 f[n]
• 求第 n 项的值是否为偶数
• 统计前 20 项中，值大于 100 的有多少个

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🎯 六、小结板书参考

复制编辑
★ 递推公式： f(n) = f(n-1) + f(n-2)
★ 初始化非常重要： f[0] = 0, f[1] = 1
★ 使用 for 循环从第2项开始
★ 数组 f[] 用来保存每个月的兔子对数

🧠 信息学奥赛 · 递推第三课：常见递推模型

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🧭 一、教学导语

👩‍🏫（老师开场白）：

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同学们，前两节课我们学习了兔子问题和数组递推，也认识了斐波那契数列。

今天我们要学习两种常见的递推模型，它们在信息学比赛中经常出现：

• 第一个是"爬楼梯"问题；
• 第二个是"走格子"问题。

虽然表面看起来像生活小故事，但它们的本质就是递推！

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🎯 二、学习目标

• 掌握两个经典递推模型：爬楼梯、一维 → 走格子、二维；
• 能正确列出递推公式；
• 会用一维和二维数组进行代码实现。

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🪜 三、类型一：爬楼梯问题（一维递推）

✅ 问题描述：

有一个楼梯有 n 级，每次可以爬1级或2级，一共有多少种爬法？

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✅ 分析思路：

• 如果站在第 n 级，可能来自：

  • 第 n-1 级再爬1步；
  • 第 n-2 级再爬2步。

🧠 所以：

复制编辑
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

初始条件：

复制编辑
f(0) = 1  （不爬楼梯也算一种）
f(1) = 1

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✅ 示例代码：

cpp
复制编辑
int f[50];
f[0] = 1;
f[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; i++) {
    f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
cout << "总共爬法：" << f[n];

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🧱 四、类型二：走格子问题（二维递推）

✅ 问题描述：

在一个 m × n 的格子地图中，从左上角 (0,0) 走到右下角 (m,n)，只能向右 或向下，有多少种走法？

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✅ 分析思路：

• 到达 (i, j) 的方法数 = 从上面 (i-1, j) 走一步 + 从左边 (i, j-1) 走一步

🧠 所以：

复制编辑
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]

初始条件：

• f[0][j] = 1 （第一行只能从左边一直走）
• f[i][0] = 1 （第一列只能从上面一直走）

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✅ 示例代码：

cpp
复制编辑
int f[20][20];

for (int i = 0; i <= m; i++) f[i][0] = 1;
for (int j = 0; j <= n; j++) f[0][j] = 1;

for (int i = 1; i <= m; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
    }
}

cout << "总共走法：" << f[m][n];

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📊 五、课堂练习建议

✅ 基础题：

• 爬 10 层台阶有几种爬法？
• 在 4×4 的格子里有多少种走法？

✅ 提高题：

• 限制只能向下/右走，但不能经过某个障碍格子；
• 楼梯只能以 "1步或3步" 爬法来爬，递推公式怎么变？

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🧠 六、小结板书建议

复制编辑
【递推模型一】爬楼梯：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

【递推模型二】走格子：
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]

初始化：
f[0] = 1, f[1] = 1
f[0][j] = 1, f[i][0] = 1

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📌 教学建议

• 可以让学生在黑板上"走楼梯"、"走格子"做真人模拟；
• 把问题图像化，画格子、楼梯，用箭头帮助理解递推方向；
• 引导学生发现递推模型之间的共通性：当前位置由"上一步"或"上两步"推出。

🧩 问题再说一遍：

一个楼梯有 n 级台阶，每次你可以爬 1级 或 2级，问：从第0级开始，爬到第n级，一共有多少种不同的走法？

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🎯 举个例子来说明

比如：楼梯有3级（n = 3）

我们来找出所有的走法：

1. 1 + 1 + 1（每次都爬一级）
2. 1 + 2（先爬一级，再爬两级）
3. 2 + 1（先爬两级，再爬一级）

所以总共有 3种走法。

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🔁 递推思想怎么来？

我们来想一个通用的逻辑：

如果我现在在第 n 级台阶，那么我最后一步可能是：

• 从 n-1 级走一级上来（那之前需要走到 n-1）
• 或者从 n-2 级走两级上来（那之前需要走到 n-2）

这意味着：

走到第 n 级的走法数 = 走到第 n-1 级的走法数 + 走到第 n-2 级的走法数

这就是：

text
复制编辑
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

是不是跟斐波那契数列一样？没错，它其实就是一个斐波那契问题的变种！

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🟡 初始值该是多少？

为了让这个"加法"有开始，我们必须给出前两个台阶的"走法数"：

• f(0) = 1（不爬也是一种方案）
• f(1) = 1（只能一步爬上去）

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✅ 总结一下

台阶数 n	走法数 f(n)	说明
0	1	什么都不做
1	1	只能一步
2	2	(1+1) 或 (2)
3	3	(1+1+1), (1+2), (2+1)
4	5	用公式 f(4) = f(3)+f(2)=3+2

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💡 用代码写出来：

cpp
复制编辑
int f[100];
f[0] = 1;
f[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; i++) {
    f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}

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🚸 少儿课堂小技巧

你可以用"跳格子"的游戏方式来带孩子理解：

在黑板上画一排格子（比如4格）：

css
复制编辑
[0]→[1]→[2]→[3]→[4]

孩子每次可以：

• 从一个格子跳到右边1格，或者
• 跳到右边2格

然后你问他：从0跳到4，一共有几种跳法？让他们自己试着跳，再和公式结果比对，就很容易理解了！

🧩 问题描述：骨牌覆盖问题（又叫 2×n 方格骨牌覆盖）

有一个 2×n 的方格，要用 2×1 的骨牌完全铺满。问一共有多少种不同的铺法？（骨牌可以横着或竖着放）

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🧠 举例理解

例子：2×1

只能竖着放一个骨牌 → 只有 1 种方法

例子：2×2

• 竖着放两个骨牌
• 横着放两个骨牌

→ 总共 2 种方法

例子：2×3

可以分成两种情况考虑最后一块骨牌的放法：

1. 最后一列是一个竖着的骨牌 → 剩下的是 2×2 → f(2)
2. 最后两列是两个横着的骨牌 → 剩下的是 2×1 → f(1)

所以：

复制编辑
f(3) = f(2) + f(1)

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✅ 递推公式总结：

复制编辑
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

• f(n-1)：最后放一个竖着的骨牌，占用一列
• f(n-2)：最后放两个横着的骨牌，占用两列

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🟢 初始值：

cpp
复制编辑
f(0) = 1   // 空格子也算一种铺法
f(1) = 1   // 一列只能竖着放一个

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✅ 示例代码（C++）：

cpp
复制编辑
int f[100];
f[0] = 1;
f[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; i++) {
    f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
cout << "铺法种数：" << f[n];

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🎓 教学建议（适合小学高年级或初一学生）：

• 用磁力贴或拼图块拼一个 2×n 的格子；
• 让孩子动手摆出几种覆盖方法（用多米诺骨牌也可以）；
• 引导他们从"最后一块骨牌"的角度思考递推；
• 和"爬楼梯问题"进行类比 → 他们本质上是一样的模型！

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🔁 总结对比三大递推模型：

问题	模型公式	本质逻辑
爬楼梯	f(n) = f(n-1) + f(n-2)	一步 or 两步
骨牌覆盖	f(n) = f(n-1) + f(n-2)	竖放 or 横放两块
斐波那契	f(n) = f(n-1) + f(n-2)	第 n 项 = 前两项之和