Python实例题：Python计算二元二次方程组

Python实例题

题目

Python计算二元二次方程组

代码实现

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import root
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm

def system_of_equations(vars, eq1_coeffs, eq2_coeffs):
    """
    定义二元二次方程组
    
    参数:
        vars (tuple): (x, y) 变量
        eq1_coeffs (list): 第一个方程的系数 [a1, b1, c1, d1, e1, f1]
        eq2_coeffs (list): 第二个方程的系数 [a2, b2, c2, d2, e2, f2]
    
    返回:
        list: 方程组的值 [eq1_value, eq2_value]
    """
    x, y = vars
    a1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffs
    a2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffs
    
    # 计算第一个方程的值
    eq1 = a1*x**2 + b1*x*y + c1*y**2 + d1*x + e1*y + f1
    
    # 计算第二个方程的值
    eq2 = a2*x**2 + b2*x*y + c2*y**2 + d2*x + e2*y + f2
    
    return [eq1, eq2]

def solve_system(eq1_coeffs, eq2_coeffs, initial_guesses=None):
    """
    求解二元二次方程组
    
    参数:
        eq1_coeffs (list): 第一个方程的系数 [a1, b1, c1, d1, e1, f1]
        eq2_coeffs (list): 第二个方程的系数 [a2, b2, c2, d2, e2, f2]
        initial_guesses (list): 初始猜测点列表，默认为None（使用默认猜测点）
    
    返回:
        list: 方程组的解 [(x1, y1), (x2, y2), ...]
    """
    solutions = []
    
    # 如果没有提供初始猜测点，使用默认的猜测点
    if initial_guesses is None:
        # 在常见区域设置多个初始猜测点
        initial_guesses = [
            (0, 0), (1, 1), (-1, -1), (10, 10), (-10, -10),
            (10, -10), (-10, 10), (0, 10), (0, -10), (10, 0), (-10, 0)
        ]
    
    # 对每个初始猜测点求解方程组
    for guess in initial_guesses:
        result = root(system_of_equations, guess, args=(eq1_coeffs, eq2_coeffs))
        
        # 检查求解是否成功
        if result.success:
            x, y = result.x
            
            # 检查解是否已经在列表中（考虑浮点数精度）
            is_duplicate = False
            for sol in solutions:
                if np.allclose([x, y], sol, rtol=1e-5, atol=1e-6):
                    is_duplicate = True
                    break
            
            if not is_duplicate:
                # 验证解是否同时满足两个方程
                eq1_val, eq2_val = system_of_equations([x, y], eq1_coeffs, eq2_coeffs)
                if abs(eq1_val) < 1e-6 and abs(eq2_val) < 1e-6:
                    solutions.append((x, y))
    
    return solutions

def plot_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions=None, x_range=(-10, 10), y_range=(-10, 10)):
    """
    绘制二元二次方程组及其解
    
    参数:
        eq1_coeffs (list): 第一个方程的系数 [a1, b1, c1, d1, e1, f1]
        eq2_coeffs (list): 第二个方程的系数 [a2, b2, c2, d2, e2, f2]
        solutions (list): 方程组的解，默认为None
        x_range (tuple): x轴范围，默认为(-10, 10)
        y_range (tuple): y轴范围，默认为(-10, 10)
    """
    # 创建网格
    x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], 1000)
    y = np.linspace(y_range[0], y_range[1], 1000)
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    
    # 解析方程系数
    a1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffs
    a2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffs
    
    # 计算方程值
    Z1 = a1*X**2 + b1*X*Y + c1*Y**2 + d1*X + e1*Y + f1
    Z2 = a2*X**2 + b2*X*Y + c2*Y**2 + d2*X + e2*Y + f2
    
    # 创建图形
    plt.figure(figsize=(12, 10))
    
    # 绘制第一个方程的等高线（值为0的曲线）
    contour1 = plt.contour(X, Y, Z1, levels=[0], colors='blue', linewidths=2)
    plt.clabel(contour1, inline=True, fontsize=10)
    
    # 绘制第二个方程的等高线（值为0的曲线）
    contour2 = plt.contour(X, Y, Z2, levels=[0], colors='red', linewidths=2)
    plt.clabel(contour2, inline=True, fontsize=10)
    
    # 标记解点
    if solutions:
        for sol in solutions:
            plt.plot(sol[0], sol[1], 'go', markersize=10)
            plt.annotate(f'({sol[0]:.4f}, {sol[1]:.4f})', 
                         (sol[0], sol[1]), 
                         textcoords="offset points", 
                         xytext=(0,10), 
                         ha='center')
    
    # 添加标题和标签
    plt.title('二元二次方程组及其解', fontsize=16)
    plt.xlabel('x', fontsize=14)
    plt.ylabel('y', fontsize=14)
    plt.grid(True)
    
    # 添加图例
    plt.legend(['方程1', '方程2', '解'])
    
    # 显示图形
    plt.show()

def plot_3d_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions=None, x_range=(-10, 10), y_range=(-10, 10)):
    """
    绘制二元二次方程组的3D图像
    
    参数:
        eq1_coeffs (list): 第一个方程的系数 [a1, b1, c1, d1, e1, f1]
        eq2_coeffs (list): 第二个方程的系数 [a2, b2, c2, d2, e2, f2]
        solutions (list): 方程组的解，默认为None
        x_range (tuple): x轴范围，默认为(-10, 10)
        y_range (tuple): y轴范围，默认为(-10, 10)
    """
    # 创建网格
    x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], 100)
    y = np.linspace(y_range[0], y_range[1], 100)
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    
    # 解析方程系数
    a1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffs
    a2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffs
    
    # 计算方程值
    Z1 = a1*X**2 + b1*X*Y + c1*Y**2 + d1*X + e1*Y + f1
    Z2 = a2*X**2 + b2*X*Y + c2*Y**2 + d2*X + e2*Y + f2
    
    # 创建3D图形
    fig = plt.figure(figsize=(12, 10))
    ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
    
    # 绘制第一个方程的曲面
    surf1 = ax.plot_surface(X, Y, Z1, cmap=cm.Blues, alpha=0.5, 
                           linewidth=0, antialiased=True)
    
    # 绘制第二个方程的曲面
    surf2 = ax.plot_surface(X, Y, Z2, cmap=cm.Reds, alpha=0.5, 
                           linewidth=0, antialiased=True)
    
    # 绘制z=0平面
    ax.plot_surface(X, Y, np.zeros_like(X), alpha=0.1, color='gray')
    
    # 标记解点（如果有解）
    if solutions:
        for sol in solutions:
            x_sol, y_sol = sol
            z_sol = 0  # 解点在z=0平面上
            ax.scatter(x_sol, y_sol, z_sol, color='green', s=100, marker='o')
            ax.text(x_sol, y_sol, z_sol, f'({x_sol:.4f}, {y_sol:.4f})', 
                   color='black', fontsize=12)
    
    # 添加标题和标签
    ax.set_title('二元二次方程组的3D图像', fontsize=16)
    ax.set_xlabel('x', fontsize=14)
    ax.set_ylabel('y', fontsize=14)
    ax.set_zlabel('方程值', fontsize=14)
    
    # 设置视角
    ax.view_init(elev=30, azim=45)
    
    # 添加图例
    fig.legend([surf1, surf2], ['方程1', '方程2'])
    
    # 显示图形
    plt.show()

def main():
    """主函数，处理用户输入并求解方程组"""
    try:
        print("="*50)
        print("        二元二次方程组求解器        ")
        print("="*50)
        
        print("\n请输入第一个方程的系数 (a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0):")
        a1 = float(input("  a1 = "))
        b1 = float(input("  b1 = "))
        c1 = float(input("  c1 = "))
        d1 = float(input("  d1 = "))
        e1 = float(input("  e1 = "))
        f1 = float(input("  f1 = "))
        
        print("\n请输入第二个方程的系数 (a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 0):")
        a2 = float(input("  a2 = "))
        b2 = float(input("  b2 = "))
        c2 = float(input("  c2 = "))
        d2 = float(input("  d2 = "))
        e2 = float(input("  e2 = "))
        f2 = float(input("  f2 = "))
        
        # 构建系数列表
        eq1_coeffs = [a1, b1, c1, d1, e1, f1]
        eq2_coeffs = [a2, b2, c2, d2, e2, f2]
        
        # 求解方程组
        solutions = solve_system(eq1_coeffs, eq2_coeffs)
        
        # 输出结果
        print("\n" + "="*50)
        if solutions:
            print(f"方程组共有 {len(solutions)} 个实数解:")
            for i, sol in enumerate(solutions, 1):
                print(f"解 {i}: x = {sol[0]:.6f}, y = {sol[1]:.6f}")
        else:
            print("方程组没有找到实数解。")
        print("="*50)
        
        # 询问用户是否要绘制图像
        plot_option = input("\n是否绘制方程组图像？(y/n): ").lower()
        if plot_option == 'y':
            x_min = float(input("请输入x轴最小值: "))
            x_max = float(input("请输入x轴最大值: "))
            y_min = float(input("请输入y轴最小值: "))
            y_max = float(input("请输入y轴最大值: "))
            
            # 绘制2D图像
            plot_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions, 
                          (x_min, x_max), (y_min, y_max))
            
            # 询问是否绘制3D图像
            plot_3d_option = input("是否绘制3D图像？(y/n): ").lower()
            if plot_3d_option == 'y':
                plot_3d_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions, 
                                 (x_min, x_max), (y_min, y_max))
    
    except ValueError as ve:
        print(f"输入错误: {ve}")
    except Exception as e:
        print(f"发生错误: {e}")

if __name__ == "__main__":
    main()

实现原理

这个二元二次方程组求解器基于以下技术实现：

方程组定义：

支持标准形式的二元二次方程组
使用系数列表表示每个方程

数值求解方法：

使用 scipy.optimize.root 函数求解非线性方程组
设置多个初始猜测点以寻找所有可能的解
使用容差检查解的有效性和唯一性

可视化功能：

2D 图像展示两个方程的曲线及其交点
3D 图像展示方程曲面与 z=0 平面的交线
标记并显示所有实数解的坐标

关键代码解析

1. 方程组定义

python 复制代码

def system_of_equations(vars, eq1_coeffs, eq2_coeffs):
    x, y = vars
    a1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffs
    a2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffs
    
    eq1 = a1*x**2 + b1*x*y + c1*y**2 + d1*x + e1*y + f1
    eq2 = a2*x**2 + b2*x*y + c2*y**2 + d2*x + e2*y + f2
    
    return [eq1, eq2]

2. 求解函数

python 复制代码

def solve_system(eq1_coeffs, eq2_coeffs, initial_guesses=None):
    solutions = []
    
    if initial_guesses is None:
        initial_guesses = [
            (0, 0), (1, 1), (-1, -1), (10, 10), (-10, -10),
            (10, -10), (-10, 10), (0, 10), (0, -10), (10, 0), (-10, 0)
        ]
    
    for guess in initial_guesses:
        result = root(system_of_equations, guess, args=(eq1_coeffs, eq2_coeffs))
        
        if result.success:
            x, y = result.x
            
            # 检查解是否已存在并验证解的有效性
            is_duplicate = False
            for sol in solutions:
                if np.allclose([x, y], sol, rtol=1e-5, atol=1e-6):
                    is_duplicate = True
                    break
            
            if not is_duplicate:
                eq1_val, eq2_val = system_of_equations([x, y], eq1_coeffs, eq2_coeffs)
                if abs(eq1_val) < 1e-6 and abs(eq2_val) < 1e-6:
                    solutions.append((x, y))
    
    return solutions

3. 2D 图像绘制

python 复制代码

def plot_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions=None, x_range=(-10, 10), y_range=(-10, 10)):
    x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], 1000)
    y = np.linspace(y_range[0], y_range[1], 1000)
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    
    a1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffs
    a2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffs
    
    Z1 = a1*X**2 + b1*X*Y + c1*Y**2 + d1*X + e1*Y + f1
    Z2 = a2*X**2 + b2*X*Y + c2*Y**2 + d2*X + e2*Y + f2
    
    plt.figure(figsize=(12, 10))
    
    # 绘制等高线（值为0的曲线）
    contour1 = plt.contour(X, Y, Z1, levels=[0], colors='blue', linewidths=2)
    contour2 = plt.contour(X, Y, Z2, levels=[0], colors='red', linewidths=2)
    
    # 标记解点
    if solutions:
        for sol in solutions:
            plt.plot(sol[0], sol[1], 'go', markersize=10)
            plt.annotate(f'({sol[0]:.4f}, {sol[1]:.4f})', 
                         (sol[0], sol[1]), 
                         textcoords="offset points", 
                         xytext=(0,10), 
                         ha='center')
    
    plt.title('二元二次方程组及其解', fontsize=16)
    plt.xlabel('x', fontsize=14)
    plt.ylabel('y', fontsize=14)
    plt.grid(True)
    plt.legend(['方程1', '方程2', '解'])
    plt.show()

使用说明

运行程序：

bash 复制代码

python system_quadratic_solver.py

输入方程系数：按照提示依次输入两个方程的系数 \(a, b, c, d, e, f\)。
查看结果：程序会输出方程组的所有实数解，并可以选择绘制 2D 和 3D 图像以直观展示。

示例输入输出：

python 复制代码

请输入第一个方程的系数 (a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0):
  a1 = 1
  b1 = 0
  c1 = 1
  d1 = 0
  e1 = 0
  f1 = -4

请输入第二个方程的系数 (a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 0):
  a2 = 1
  b2 = 0
  c2 = -1
  d2 = 0
  e2 = 0
  f2 = 0

==================================================
方程组共有 4 个实数解:
解 1: x = 1.414214, y = 1.414214
解 2: x = 1.414214, y = -1.414214
解 3: x = -1.414214, y = 1.414214
解 4: x = -1.414214, y = -1.414214
==================================================

注意事项

局限性：

此程序只能找到实数解，无法找到复数解
对于某些特殊方程组，可能需要调整初始猜测点
数值方法可能无法找到所有解，尤其是当解的数量很多时

精度问题：

浮点数精度可能导致微小误差
解的验证使用容差（1e-6），可根据需要调整

性能考虑：

绘制高分辨率图像可能需要较长时间
复杂方程组可能需要更多的初始猜测点

扩展建议：

添加符号解法支持（使用 SymPy 库）
实现解的稳定性分析
增加交互式界面调整参数和查看结果

Python实例题：Python计算二元二次方程组

目录

Python实例题

题目

代码实现

实现原理

方程组定义：

数值求解方法：

可视化功能：

关键代码解析

1. 方程组定义

2. 求解函数

3. 2D 图像绘制

使用说明

运行程序：

示例输入输出：

注意事项

局限性：

精度问题：

性能考虑：

扩展建议：