1.3 古典概型和几何概型

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古典概型模型(等可能模型)

两个条件:

  1. 有限个样本点 2) 等可能性

例题:

设有n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任一间(n≤N), 求下列事件的概率:

(1)某指定的n间房中各有一个人

(2)恰好有n间房,其中各住一个人

(3)某指定的房间中恰好有k个人

(4)当n=N 时,恰有一间房空着

解析:

(1): 指定n间房各有一个人: n ( n − 1 ) . . .3 × 2 × 1 N n \frac{n(n-1)...3×2×1}{N^n} Nnn(n−1)...3×2×1 = n ! N n \frac{n!}{N^n} Nnn!

(2): 恰好有n间房,其中各住一个人: C N n n ! N n \frac{C_{ N}^{n}n!}{N^n} NnCNnn!

(3):某指定的房间中恰好有k个人: C n k ( N − 1 ) n − k N n \frac{C_{ n}^{k}(N-1)^{n-k}}{N^n} NnCnk(N−1)n−k

(4):当n=N时,恰有一间房空着: C n 1 C n 2 ( n − 1 ) ! n n \frac{C_{ n}^{1}C_{ n}^{2}(n-1)!}{n^n} nnCn1Cn2(n−1)!

几何概型

比如一个圆形:射箭,射中阴影部分的概率是 1 4 \frac{1}{4} 41

例题:

(会面问题) 甲、乙两人约定7点到8点在某处见面,并约定先到者应等候另一人

一刻钟,过时即可离去,假定每个人在指定的1小时内任一时刻到达是等可能的,求两人能会面的概率?

解析:

设:甲、乙到达时间分别是x,y

Ω={(x,y)| 0≤x≤60 0≤y≤60 }

|x-y|≤15 -15≤x-y≤15 这样才能会面

x-y≤15 y≥x-15 y =x-15

x-y≥-15 y≤x+15 y =x+15

P(A) = 60 × 60 − 2 × 1 / 2 × 45 × 45 60 × 60 \frac{60×60-2× 1/2×45×45}{60×60} 60×6060×60−2×1/2×45×45 = 7 16 \frac{7}{16} 167

观看笔记来源:概率论与数理统计-宋浩老师

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