数据结构第一章

考试无非考的是一下三点:概念、理解和运用。前者直接考的较少,后两者是考试的重点和难点。计算题考的就是理解,而代码题考的则是在理解的基础上进一步运用。三者相辅相成,构成了考试的主要内容,成为客观检测学生掌握相应知识的度量。

概念

  1. 数据元素、数据项、数据对象、数据类型、数据结构的概念。
  2. 数据结构三要素
  3. 什么是数据的逻辑结构?数据的逻辑结构分为几种?
  4. 什么是数据的存储结构?数据的存储结构有哪几种?这几种存储结构各有什么优缺点?
  5. 什么是数据的运算?
  6. 什么是算法?算法具有哪五种特性?五种特性的具体内容是什么?
  7. 一个好的算法应该具有哪四个特性?
  8. 算法的时间复杂度和空间复杂度是什么?
  9. 常见的时间复杂度大小比较。

考点:时间复杂度

时间复杂度主要求两种,一种是循环下的时间复杂度,另一种就是递归下的时间复杂度。

错题1

过程:需要看递归调用的次数,所以选c

如果改一改递归函数的内部,时间复杂度也会发生改变:

错题2

每一次调用的都是前一个,所以是选B

错题3

既要看外层i的变化,又要看内层j的变化

可以看出,最后求出来的时间复杂度是介于n-12n-1的,所以本题选B。

应用------分析求解斐波那契数列用到的两种算法的时间复杂度

求解斐波那契数列
F ( n ) = { 0 if n = 0 1 if n = 1 F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) if n ≥ 2 F(n) = \begin{cases} 0 & \text{if } n = 0 \\ 1 & \text{if } n = 1 \\ F(n-1) + F(n-2) & \text{if } n \geq 2 \end{cases} F(n)=⎩ ⎨ ⎧01F(n−1)+F(n−2)if n=0if n=1if n≥2

有两种常用的算法:递归算法和非递归算法。试分别分析两种算法的时间复杂度。

算法一:递归算法

C语言代码如下:

c 复制代码
//斐波那契数列 
#include <stdio.h>

int Function1(int n) { //递归算法 
	if(n == 0 || n == 1) {
		return n;
	}
	else{
		return Function1(n-1) + Function1(n-2);
	}	  
	//算法时间复杂度为O(),空间复杂度为O(1)  
}
 
int main() {
	int i;
	printf("斐波那契数列的前十个数字是:\n");
	for(i = 0; i < 10; i++) {
		printf("%d ", Function1(i));
	}
	return 0;
} 

递归算法的时间复杂度是 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n),空间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)

可以看出整个过程是一个递归调用树,在这个过程中有大量的重复计算:F(n-2) 的计算次数是2次,F(n-3) 的计算次数是3次,最终时间复杂度是指数级的;每个递归调用占用 O(1) 空间,最大递归深度是n,所以空间复杂度为O(n)。

可以从减少重复计算的角度来改进递归算法。如下所示:

c 复制代码
int memo[100] = {0}; //全局备忘录数组
int Function1_optimized(int n) {
if(n == 0 || n ==1) return n;
if(memo[100]!=0) return memo[n]; //使用缓存结果
memo[n] = Function1_optimized(n-1) + Function1_optimized(n-2);
return memo[n];
}

这样时间复杂度就降为了O(n),空间复杂度仍未O(n)。

算法二:非递归算法

C语言代码如下:

c 复制代码
//斐波那契数列 
#include <stdio.h>
int Function2(int n) { //非递归算法
	int a[999], j;
	a[0] = 0;
	a[1] = 1;
	for(j = 2; j < n+1; j++) {
		a[j] = a[j-1] + a[j-2];
	} 
	return a[n];
	//算法时间复杂度为O(n),空间复杂度也为O(n) 
}
 
int main() {
	int i;
	printf("斐波那契数列的前十个数字是:\n");
	for(i = 0; i < 10; i++) {
		printf("%d ", Function2(i));
	}
	return 0;
} 

时间复杂度就不用说了,从2到n,时间复杂度为O(n);辅助空间是数组显然也是O(n)。

还可以进一步改进,使得空间复杂度变为O(1)。

c 复制代码
int Function2_optimized(int n) {
	if (n < 0) return -1;
	if (n == 0) return 0;
	int a = 0, b = 1;
	int i, temp;
	for(i = 2; i <= n; i++) {
		temp = a + b;
		a = b;
		b = temp;
	}
	return temp;
}
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