数学复习笔记 27

前言

太难受了。因为一些事情。和朋友倾诉了一下,也没啥用,几年之后不知道自己再想到的时候,会怎么考虑呢。另外,笔记还是有框架一点比较好,这样比较有逻辑感受。不然太乱了。这篇笔记是关于线代第五章,特征值的例题的我的一些理解和分析。笔记还是希望有价值一些。第一次学的时候,我是说看着网课学习的时候,还是把笔记做到讲义上面比较好,后面复盘回顾的时候再整理成电子笔记。

5.1

纯粹的概念计算。几十秒就可以算出来了。

5.2

这个题是一个经验,然后,要是换了特征向量里面的数字呢,感觉也是压力比较大的。我感觉最重要是要观察到,3 阶矩阵,乘以一个列向量,结果是一个列向量,我知道,这样描述大家都知道这个意思,但是自己解题的时候,能一下子反应过来这件事情,非常重要。还有就是还是从题目出发,不要慢慢扣概念,那没啥效率。题目会帮助我复习不熟悉的知识点的,要是不知道的时候再去看知识点。这题可能还是从特征值,特征向量的定义出发去计算的。

5.3

特征值和特征向量的计算是基本功,过程懒得描述了,讲点重点,就是特征值是单根,然后三阶,秩就是 2,可以快速计算,然后还有解特征值的时候尽量找相消为零,然后有成比例的,这种一般适合有参数的,参数成比例,不然不是很方便处理。特征向量有无数个,但是不能等于零。

5.4

这题关键点是,加快计算速度的,对角阵,上三角矩阵,下三角矩阵,主对角线上面的元素就是特征值,但是特征矩阵还是要写出来,这样方便计算特征向量。同上,其他的没啥好总结的了。

刻意练习

那个参数原来就是特征值,笑死,我还以为是啥呢,需要刻意练习的就是,第一步,消出来一个零,第二步,把成比例的两个元素消了,一般是用行消一次,用列消一次,之前高斯消元就是老老实实行变换,这里是有一定的灵活度,要观察,怎么消零之后能出现成比例的两个元素。反正一般考察三阶矩阵,也比较容易观察,消出来两个零之后行列式展开,记得判断是否要加负号。行列式,行倍加,列倍加,行列式都是不发生改变的。假设基础解析有两个向量,那么特征值的系数的描述是 "k1 k2 不同时为零",因为特征向量不为零。

5.5

这题是,改变矩阵,看对特征值和特征向量有什么影响。非常重要,这个题。关键是这个结论。有几个不会推导,我蒙了。这题其实有点难。能否记住,还有是否会推导都有点难度。转置之后,要用特征多项式来推导,这个可能反应不过来。可以积累这个思路,判断特征值是否相等,可以看特征值的形式是否一致,假设特征多项式的形式是一致的,那么两个矩阵的特征值是一致的。还用到了,矩阵转置不影响行列式的值。常数转置直接拿出来就行,不用做任何改变,单位阵转置还是单位阵。最后一个相似矩阵,就是设这个相似的矩阵,然后代进去整体做一些变换,看了答案之后实际上非常简单,关键就是自己一个人独立思考的时候,真不一定能推导出来。

5.6

这题第二问稍微有点难。要观察到,这个形式,可以把特征值加起来,特征向量不变。总结可以稍微简洁一些。自己完全明白这个意思就可以了。

5.7

这题太秀了。我觉得完全值得一个五分题。就是,先是算特征值,可以用公式算特征值,然后矩阵变换导致特征值变换,然后行列式等于特征值的乘积。就结束了。

5.8

这里的推导可以多推导推导。

5.9

相似的充要条件只有三个,转置,可逆,一次多项式。可以积累一个反例排除 A 选项,这个反例有点意思。

5.10

绝对是一道好题,很灵活,看到代数余子式就要考虑伴随矩阵。

5.11

明天再继续写,做任何事情,都可以稍微慢一点,无所谓的,不要着急,别人催促,或者自己催促,都不能着急,思考就是一件非常非常慢的事情。慢才能稳,稳才能快。加油。

5.12

相似对角化之后,对焦矩阵就是特征值,然后改变特征向量的系数,特征值是不变的。

5.13

同一特征值的特征向量的线性组合,对应的特征值还是原来的特征值。不同特征值对应的特征向量的线性组合不是矩阵的特征向量了。

5.14

夸夸自己,这题运算量真的是爆炸了,我算到最后和答案一模一样。我果然是 150 的苗子。算矩阵的指数次方,相似对角化,然后找规律写出表达式,这个可能要做很多次,或者直接把公式记住?我感觉还是记住底层的公式,考试的时候,推导十秒钟就出来了。然后算特征值特征向量啥的,关键是算几个矩阵乘法,我真的老实了。

5.15

判断能否相似对角化,首先看特征值,假设有 n 个特征值,就可以相似对角化,假设特征值有重根,判断 k 重根是否有 k 个线性无关的特征向量,我这里把线性无关的特征向量的个数记为 s ,那么有 s = n − r ( λ E − A ) s = n - r ( \lambda E-A) s=n−r(λE−A) ,判断一下就可以了。

5.16

没啥难的,就是计算的时候要小心一些。别出现抄错数字的情况。

5.17

很简单,计算是重点。

5.18

用线性无关的定义秒了。还是比较难的。

5.19

这题要是观察到几个列向量是两两正交的,计算可以简化很多,没观察到直接做也可以,无所谓。反正这题很可以。非常棒的一道题。

5.20

施密特正交化公式。

5.21

比较简单,但是不容易切入到这个点。感觉别搞花里胡哨的,直接做题,能做对题,就达到我的目的了。判断有没有学好,就是随便拿一个题,看能不能不借助任何外力从头写到尾并且写对。

5.22

难倒是不难,但是我化简的时候,算错了一个数字,就是除以二的时候,有一个矩阵元素没有除以二,然后其他的就还好。还有算行列式的时候,展开的时候,最好直接画一个十字,这样不容易出错,要是看差行了,就一失足成千古恨了。祛魅。祛魅非常重要。

5.23

这题稍微绕了一下,关键是要把题目信息翻译一下,就是特征向量实际上是特征其次方程的一个解。

5.24

实对称矩阵必可相似对角化。

5.25

这个,不好评价,感觉还是挺难的,虽然老师讲的时候就是一嘴带过,可能三十秒把这题讲完了。这个结论还是非常好用的。在前面某个题可以用,可以简化计算。

5.26

这题实际上非常有价值。考察得非常深刻。

后记

感觉没有很难,很有价值的 26 个题。线代拿满分,加油。

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