Σ∆ 数字滤波

ΣΔ（Sigma-Delta，中文常译为"Σ-Δ"或"Σ-Δ调制"）数字滤波，是基于ΣΔ调制器（Sigma-Delta Modulator）原理发展出来的一种数字信号处理技术，广泛应用于高精度ADC（模数转换器）或DAC（数模转换器）中。它结合了噪声整形 和过采样的思想，能在较低成本下实现高分辨率的信号转换。

一、ΣΔ调制简介

基本原理：

Σ（积分器）：累加输入信号，使其频谱中的低频部分放大；
Δ（差分器）：取当前信号与量化后的信号差值形成负反馈；
量化器：通常是1-bit或低位数ADC；
噪声整形：量化误差被推移到高频部分。

特点：

把量化噪声从低频"推"到高频；
高频噪声在后续可以通过低通滤波器有效滤除；
特别适用于音频、传感器、仪器采集等高精度信号处理。

二、ΣΔ 数字滤波常用结构

ΣΔ调制器之后，必须接数字低通滤波器，起到：

把有用信号频段保留下来；
滤除高频的量化噪声；
实现抽取（降采样）操作。

常见的数字滤波结构：

CIC滤波器（Cascaded Integrator-Comb）：
- 结构简单，仅由加法器和延迟单元组成；
- 不需要乘法器，适合FPGA、DSP硬件实现；
- 常用于ΣΔ调制器后的第一层滤波+降采样。
FIR滤波器（有限冲击响应）：
- 精度高，可设计出理想响应；
- 适用于进一步细化频率选择性；
- 通常放在CIC滤波器之后作为"修正"滤波器。

三、ΣΔ数字滤波系统框图

复制代码

模拟输入
   │
[ ΣΔ调制器 ] → 1-bit高速数据流
   │
[CIC滤波器] → 降采样 + 初级低通
   │
[FIR滤波器] → 滤除剩余高频噪声
   │
数字输出（低速、高分辨率）

四、应用场景

音频采集与播放（如24-bit音频DAC）
工业传感器（如压力、温度等）
医疗设备（ECG、EEG 等信号采集）
精密仪器（如示波器、数据采集卡）

🧠 示例目标：

模拟一个低频信号（如正弦波），经过一阶 ΣΔ 调制器，再经过一个简单的 CIC 滤波器和降采样，最后输出数字信号。

🧩 C 语言示例代码

cpp 复制代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.14159265358979323846
#define SAMPLE_RATE  100000   // 原始过采样率（100kHz）
#define DECIMATION   100      // 抽取比
#define OUTPUT_RATE  (SAMPLE_RATE / DECIMATION)
#define INPUT_FREQ   1000     // 输入信号频率

#define DURATION_SEC 1
#define TOTAL_SAMPLES (SAMPLE_RATE * DURATION_SEC)

// --- ΣΔ调制器状态变量 ---
double integrator = 0.0;
double quantizer_out = 0.0;

// --- CIC滤波器状态变量 ---
long cic_integrator = 0;
long cic_comb = 0;
long last_comb_input = 0;

// --- 一阶Sigma-Delta调制器 ---
int sigma_delta_modulate(double input)
{
    integrator += input - quantizer_out;
    quantizer_out = (integrator >= 0) ? 1.0 : -1.0;
    return (quantizer_out > 0) ? 1 : 0;  // 输出1或0
}

// --- 简单的CIC滤波器（积分器+微分器） ---
long cic_filter(int bit)
{
    // 积分器
    cic_integrator += (bit ? 1 : -1); // 1-bit输入转为±1

    // 每 DECIMATION 次，进行一次抽取 + 微分器
    static int count = 0;
    count++;
    if (count >= DECIMATION) {
        count = 0;
        long out = cic_integrator - last_comb_input;
        last_comb_input = cic_integrator;
        return out;
    }
    return 0x7FFFFFFF;  // 标志：不是有效输出
}

int main(void)
{
    for (int i = 0; i < TOTAL_SAMPLES; i++) {
        double t = (double)i / SAMPLE_RATE;
        double input_signal = 0.5 * sin(2 * PI * INPUT_FREQ * t);  // 模拟输入信号，振幅 -0.5~0.5

        int bit_out = sigma_delta_modulate(input_signal);

        long filtered = cic_filter(bit_out);
        if (filtered != 0x7FFFFFFF) {
            // 打印降采样后的输出
            printf("%ld\n", filtered);
        }
    }

    return 0;
}

🚀 输出说明：

输出是模拟信号经过 ΣΔ 调制器后得到的 1-bit 比特流 ，再通过一个 积分-微分（CIC）滤波器 ，完成降采样 与低通滤波；
输出打印的是低频恢复的模拟量值（整数形式）；
可在 Python 或 Excel 中对其进行绘图，查看恢复的波形形状。

🛠 可改进方向（进阶）：

多阶 ΣΔ（比如二阶）调制器；
更复杂的数字滤波器（如FIR）；
实时输入（ADC采样），配合DMA；
输出与 DAC 连接，用于声音/控制应用。