二元函数可微 切平面逼近 线性函数逼近

二元函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在某点可微 的含义,可以从几何直观、严格数学定义、与一阶偏导数的关系三个层面来理解:


🔹1. 几何直观上的含义(最易理解)

二元函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0) 可微,意味着它的图像在这一点附近可以被一个切平面 很好地逼近。

也就是说,在该点处,函数的图像看起来非常接近一个平面,这个平面就是它的切平面

✅ 图像上表现为"光滑无尖点、无突变"。


🔹2. 数学定义上的含义

函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0) 可微,指存在常数 A A A 和 B B B,使得函数在该点附近有如下表达式:

f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) + A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + o ( ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ) f(x, y) = f(x_0, y_0) + A(x - x_0) + B(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) f(x,y)=f(x0,y0)+A(x−x0)+B(y−y0)+o((x−x0)2+(y−y0)2 )

  • 其中 o ( ⋅ ) o(\cdot) o(⋅) 是高阶无穷小 ,意味着这个误差项随着 ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) (x, y) \to (x_0, y_0) (x,y)→(x0,y0) 比线性项还快地趋近于 0。
  • A = f x ( x 0 , y 0 ) , B = f y ( x 0 , y 0 ) A = f_x(x_0, y_0),\quad B = f_y(x_0, y_0) A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0),也就是说偏导数就是这个线性逼近的系数。

等价形式:

f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) + 高阶小量 f(x, y) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) + \text{高阶小量} f(x,y)−f(x0,y0)=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+高阶小量


✅ 总结:可微的真正含义

层面 含义
几何角度 图像在该点附近是平滑的,有一个切平面可以很好地逼近函数图像
数学定义 函数增量可以被一阶线性函数逼近,误差为高阶无穷小
和偏导关系 偏导数存在且连续 ⇒ 可微,但反之不一定
相关推荐
光电大美美-见合八方中国芯13 天前
【平面波导外腔激光器专题系列】用于干涉光纤传感的低噪声平面波导外腔激光器
网络·人工智能·科技·平面·性能优化·信息与通信
点云登山者19 天前
登山第二十四梯:无序点云平面快速分割——变种PCA
平面·pca·octree·平面检测·三维点云·无序点云·3σ统计原理
Lao A(zhou liang)的菜园1 个月前
Oracle双平面适用场景讨论会议
数据库·平面·oracle
flytalei1 个月前
理解 Kubernetes 的架构与控制平面组件运行机制
平面·架构·kubernetes
MechMaster1 个月前
Halcon计算点到平面的距离没有那么简单
平面
ICT系统集成阿祥1 个月前
华为云stack网络平面有哪些?作用及技术实现介绍!
网络·平面·华为云
liang_20262 个月前
【HT周赛】T3.二维平面 题解(分块:矩形chkmax,求矩形和)
数据结构·笔记·学习·算法·平面·总结
猎板阿权2 个月前
出于PCB设计层面考虑,连排半孔需要注意哪些事项?
单片机·物联网·平面
惊鸿一博2 个月前
几何_平面方程表示_点+向量形式
平面