快速幂算法 - 技术栈

该函数 qpow 实现了快速幂算法（Fast Exponentiation） ，用于高效计算幂运算 $x n x^n$ xnmod MOD的结果（其中 MOD 是一个全局常量）。以下是详细说明：

功能：

计算 x 的 n 次幂，并对全局常量取模，即返回 $x n x^n$ xnmod MOD的值。

算法原理：

二进制分解指数 n ：将指数 n 视为二进制形式（例如 n =13 的二进制为 $110 1 2 = 8 + 4 + 1 1101_2=8+4+1$ 11012=8+4+1)，则：

$x n = x 2 k 1 + 2 k 2 + ⋯ = x 2 k 1 × x 2 k 2 × ⋯ x^n=x^{2^{k_1}+2^{k_2}+⋯}=x^{2^{k_1}} \times x^{2^{k_2}} \times \cdots$ xn=x2k1+2k2+⋯=x2k1×x2k2×⋯
平方迭代 ：通过循环反复平方 x （即 x ← $x 2 x^2$ x2 mod MOD），生成的 $x 1 , x 2 , x 4 , x 8 , . . . x^1,x^2,x^4,x^8,...$ x1,x2,x4,x8,...的序列。
按位累积结果 ：遍历 n 的二进制位。若某位为1，则将当前的 x 累积到结果 res 中。

代码解析：

c++ 复制代码

long long qpow(long long x, int n) {
    long long res = 1;          // 初始化结果为 1
    while (n) {                 // 当指数 n 未处理完时循环
        if (n & 1) {            // 检查 n 的最低位是否为 1
            res = res * x % MOD; // 若为 1，累积当前 x 到结果（取模）
        }
        x = x * x % MOD;        // 平方迭代：x = x^2 mod MOD
        n >>= 1;                // 右移一位（等价于 n /= 2）
    }
    return res;                 // 返回最终结果
}

示例：

以 x=2,n=13,MOD=1000 为例：

初始化 ： res = 1, x = 2, n = 13 (二进制 1101).
循环步骤 ：
- 迭代 1：n & 1 = 1 → res = 1 * 2 % 1000 = 2 x = 2^2 % 1000 = 4, n = 6 (二进制 110).
- 迭代 2：n & 1 = 0 → 不更新 res x = 4^2 % 1000 = 16, n = 3 (二进制 11).
- 迭代 3：n & 1 = 1 → res = 2 * 16 % 1000 = 32 x = 16^2 % 1000 = 256, n = 1 (二进制 1).
- 迭代 4：n & 1 = 1 → res = 32 * 256 % 1000 = 8192 % 1000 = 192 x = 256^2 % 1000 = 65536 % 1000 = 536, n = 0.
返回结果 ： res = 192（即 $2 13 m o d 1000 = 8192 m o d 1000 = 192 2^{13} mod 1000 = 8192 mod 1000=192$ 213mod 1000=8192mod 1000=192）。

关键点：

时间复杂度 ：O (logn )，远优于朴素循环 O (n)。
模运算优化：每一步乘法和平方后立即取模，避免溢出。
适用场景：大数幂运算（如密码学、组合数学中常见的模幂计算）。
注意事项 ：
- 假设 MOD 是全局定义的常量。
- 指数 n 必须为非负整数（负数会导致死循环）。